Задание 16. ЕГЭ. Точка О – центр вписанной в треугольник АВС окружности.

Задание. Точка О – центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р.

а) Докажите, что ∠РОА = ∠РАО.

б) Найдите площадь треугольника АРО, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 6, ∠ВАС = 75⁰,  ∠АВС = 60⁰.

Решение:

а) Докажите, что ∠РОА = ∠РАО.

Так как точка О – центр вписанной в треугольник ΔАВС окружности, то она является точкой пересечения биссектрис АО, ВО и СО треугольника ΔАВС.

Угол ∠РОА – внешний угол треугольника ΔАВО, тогда ∠РОА равен сумме двух углов треугольника ΔАВО, не смежных с ним, т. е.

∠РОА = ∠ВАО + ∠АВО

Так как АО – биссектриса угла ∠А треугольника ΔАВС, то

Так как BО – биссектриса угла ∠B треугольника ΔАВС, то

Получим

Угол ∠РАО равен: ∠РАО = ∠ОАС + ∠РАС

Угол ∠ОАС = ∠ВАО (АО – биссектриса).

Угол ∠РАС – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу ᴗРС.

На дугу ᴗРС также опирается угол ∠РВС = ∠АВО (BО – биссектриса).

Значит, ∠РАО = ∠ВАО + ∠АВО, т.е.

Следовательно, ∠РОА = ∠РАО.

б) Найдите площадь треугольника АРО, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 6, ∠ВАС = 75⁰,  ∠АВС = 60⁰.

В треугольнике ΔАВР угол ∠ВАР = ∠ВАС + ∠РАС.

Угол ∠ВАС = 75⁰, ∠РАС =∠РBC = ∠АВО = 30⁰ (BО – биссектриса), тогда ∠ВАР = 75⁰ + 30⁰ = 105⁰.

Так как сумма углов треугольника равна 180⁰, тогда

∠АРВ = 180⁰ – (∠РАВ + ∠ВАР) = 180⁰ – (105⁰ + 30⁰) = 45⁰

Около треугольника ΔАВР описана окружность с радиусом R = 6 и ∠АВР =∠АВО = 30⁰, тогда для треугольника ΔАВР справедливо равенство

Так как в треугольнике ΔАРО углы ∠РОА = ∠РАО, то треугольник ΔАРО – равнобедренный треугольник,

АР = ОР = 6 и угол ∠АРО = ∠АРВ = 45⁰.

Площадь треугольника ΔАРО равна

Ответ: 9√2

Понравилось? Нажмите