Задание 16. Математика ЕГЭ. На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

Задание. На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что cos∠АВС = 1/5. В каком отношении прямая DL делит сторону АВ?

Решение:

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

Пусть угол ∠LBC = α, так как BL – биссектриса угла ∠АВС, то угол ∠LBC = ∠LBA = α и угол ∠АВС = 2α.

По условию треугольник ∆АВС – равнобедренный, тогда ∠АВС = ∠АСВ = 2α. Треугольник ∆BDL – равнобедренный, тогда угол ∠LDC = ∠LBC = α.

Угол ∠LСВ – внешний угол треугольника ∆LDC, он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним, т. е.

∠LСВ = ∠LDC + ∠DLC

2α = α + ∠DLC

∠DLC = α

Итак, ∠LDC = ∠DLC = α, следовательно, треугольник ∆DCL равнобедренный.

б) Известно, что cos∠АВС = 1/5. В каком отношении прямая DL делит сторону АВ?

Проведем высоту АН в треугольнике ∆АВС, рассмотрим прямоугольный треугольник ∆АВН:

По условию

Тогда

АВ = 5ВН

ВС = 2ВН

Так как BL – биссектриса треугольника ∆АВС, то отношение отрезков, на которые она делит сторону АС, равно отношению прилежащих сторон (свойство биссектрисы треугольника):

Тогда

Рассмотрим треугольники ∆BMD и ∆CLВ: ∠LCB = ∠MBC, ∠LDB = ∠LBC. Следовательно, треугольники ∆BMD и ∆CLВ – подобные треугольники, тогда

Так как треугольник ∆DCL равнобедренный и LC = DС, то BD = BC + DC = BC + LC, тогда

Разделим обе части равенства на АВ:

Найдем отношение, в котором прямая DL делит сторону АВ:

Ответ: 25/24

Понравилось? Нажмите