Задание 16. Математика ЕГЭ. В треугольнике АВС известно, что ∠ВАС = 60°, ∠АВС = 45°. Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках M, N, P. Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 6.

Задание. В треугольнике АВС известно, что ∠ВАС = 60°, ∠АВС = 45°. Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках M, N, P.

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 6.

Задание16в23_1

Решение:

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.

Так как ∠АВС = 45°, а СР – высота треугольника ∆АВС, тогда ∠ВСР = 45°. Угол ∠ВСР –  вписанный в окружность угол, он равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно, дуга ВР = 90°.

Так как ∠АВС = 45°, а АМ – высота треугольника ∆АВС, тогда ∠ВАМ = 45°. Угол ∠ВАМ –  вписанный в окружность угол, он равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно, дуга ВМ = 90°.

Дуга МР равна сумме дуг ВР и ВМ, т. е. дуга МР = 180°. Угол ∠МNP – вписанный в окружность угол, следовательно, ∠МNP = 90°. Тогда треугольник ∆MNP – прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 6.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆MNP. MP – гипотенуза вписанного в окружность прямоугольного треугольника  ∆MNP, следовательно, МР – диаметр окружности, тогда МР = 2R.

Используя теорему синусов, имеем, что  отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности, получим

Задание16в23_2

Следовательно, МР = 2R = 4√3.

Рассмотрим треугольник ∆АВС. Угол ∠ВАС = 60°, СР – высота треугольника ∆АВС, тогда ∠АСР = 30°. Угол ∠АСР –  вписанный в окружность угол, он равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно, дуга АР = 60°.

Аналогично, угол ∠ВАС = 60°, BN – высота треугольника ∆АВС, тогда ∠АBN = 30°. Угол ∠АBN –  вписанный в окружность угол, он равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно, дуга АN = 60°.

Дуга PN равна сумме дуг АР и АN, т. е. дуга РN = 120°. Угол ∠NМP – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу РN, тогда угол ∠NМP = 60°.

В прямоугольном треугольнике ∆MNP угол ∠NМP = 60°, значит, угол ∠МPN = 30°. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Тогда

Задание16в23_3

Тогда площадь треугольника ∆MNP равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, т. е.

Задание16в23_4

Ответ: 6√3

Понравилось? Нажмите

Оставить комментарий

Рубрики
Яндекс.Метрика