Задание 16. Математика ЕГЭ. Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках С1, В1 и А1 соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника АВ1С1.

Задание.

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках С1, В1 и А1 соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника АВ1С1.

а) Докажите, что С1Q – биссектриса угла АС1В1.

б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник АС1В1, если известно, что ВС = 11, АВ = 13, АС = 20.

Задание16в18_1

Решение:

а) Докажите, что С1Q – биссектриса угла АС1В1.

Рассмотрим треугольники ∆AB1Q и ∆AC1Q: AQ – общая сторона, ∠B1AQ = ∠C1AQ. Следовательно, ∆AB1Q = ∆AC1Q и B1Q = C1Q. Получим, что ∆QB1C1 – равнобедренный и ∠QB1C1 = ∠QC1B1.

Угол ∠QB1C1 – вписанный в окружность угол, он равен половине дуги, на которую он опирается, т. е.

Задание16в17_2

Так как АВ – касательная к окружности и QC1 – хорда окружности, то угол ∠QC1А между хордой и  касательной окружности, проведенной через конец хорды, равен половине дуги, лежащей внутри этого угла, т. е.

Задание16в17_3

Получим, что угол ∠QB1C1 = ∠QC1А. Так как ∠QB1C1 = ∠QC1B1, то ∠QC1А = ∠QC1B1.

Значит, С1Q – биссектриса угла АС1В1.

б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник АС1В1, если известно, что ВС = 11, АВ = 13, АС = 20.

Задание16в18_2

Так как AQ и C1Q – биссектрисы треугольника ∆AB1C1, тогда точка пересечения биссектрис Q – центр вписанной в треугольник ∆AB1C1 окружности. Точка Q – точка пересечения биссектрисы AQ и окружности с центром О, то расстоянием от точки О до точки Q – центра окружности, вписанной в треугольник ∆AB1C1 является OQ – радиус окружности с центром О, вписанный в треугольник ∆АВС.

Задание16в17_5

P = AB + BC + AC

P = 13 + 11 + 20 = 44

Площадь треугольника ∆АВС найдем по формуле Герона:

Задание16в21

Итак, OQ = r = 3

Ответ: 3

Понравилось? Нажмите

Оставить комментарий

Рубрики
Яндекс.Метрика