Задание 7. ЕГЭ. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0.

Задание. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение:

1 способ:

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции f(x) в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке x0, т. е.

Число k = tga является угловым коэффициентом касательной к графику функции, а угол α — углом между касательной и осью Оx.

Используя рисунок, найдем tgα.

Угол α, который составляет касательная с положительным направлением оси Оx, тупой.

Следовательно, значение производной функции f(x) в точке x0, отрицательно, поэтому находим тангенс смежного с ним угла β.

Для этого найдем треугольник с удобными значениями катетов (см. рисунок).

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету, т. е.

Тогда, тангенс тупого, смежного угла a равен: tgα = — 2.

Ответ: — 2

2 способ:

Значение производной функции f(x) в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке x0, т. е.

Уравнение касательной (прямой) y = kx + b, где k – угловой коэффициент касательной.

На касательной выберем любые две точки с удобными координатами (см. рисунок) и найдем эти координаты.

Подставим координаты точек в уравнение y = kx + b.

Для точки А(-4; 2) получим: 2 = — 4k + b.

Для точки В(-2; -2) получим: 2 = — 2k + b.

Имеем систему уравнений:

Умножим первое уравнение системы на – 1, получим

Решим систему линейных уравнений методом сложения. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной:

Следовательно, значение производной функции f(x) в точке x0 равно

Ответ: — 2

Понравилось? Нажмите
Рубрики
Яндекс.Метрика