Задание 12. ЕГЭ. Найдите наименьшее значение функции.

Задание. Найдите наименьшее значение функции y = (1 – x)·e^{2 – x} на отрезке [0,5; 5].

Решение:

Область определения функции: все числа.

Найдем точки экстремума функции, для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Найдем нули производной:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла:

Отметим точки 0,5; 2 и 5 на числовой прямой и расставим знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную:

В точке x = 2 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это искомая точка минимума функции на отрезке [0,5; 5].

Найдем значение функции при x = 2:

Значение y(2) = — 1  является наименьшим значением функции на отрезке [0,5; 5].

Ответ: — 1

P. S. Наименьшее значение функции y = (1 – x)e^{2 – x} на отрезке [0,5; 5] можно найти другим способом. После нахождения экстремума функции, достаточно вычислить значения функции на концах отрезка и в точке экстремума, принадлежащей данному отрезку:

Ответ: — 1

Понравилось? Нажмите