Задание 12. Математика ЕГЭ. Найдите наибольшее значение функции y = ln(x + 5)^4 – 4x на отрезке

Задание. 

Найдите наибольшее значение функции y = ln(x + 5)⁴ – 4x на отрезке [-4,5; 0].

Решение:

Найдем точку экстремума функции, для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Функция определена при x + 5 > 0, x > — 5.

Упростим данную функцию:

y = 4ln(x + 5) – 4x

Найдем производную функции:

 

Найдем нули производной:

y′ = 0

— 4x – 16  = 0

— 4x = 16

x = — 4  принадлежит отрезу [-4,5; 0]

Отметим точки — 4,5; — 4 и 0 на числовой прямой и расставим знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)

В точке х = — 4  производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума на отрезке [-4,5; 0]. Найдем значение функции при x = — 4.

y(-4) = ln(-4 + 5)⁴ — 4·(-4) = ln1 + 16 = 16

Наибольшее значение функции можно находить другим способом, для этого нужно вычислить значения функции в точке х = — 4 и в граничных точках отрезка, имеем:

y(-4,5) = ln(-4,5 + 5)⁴ — 4·(-4,5) = 4ln(0,5) + 18 ≈ 14

y(0) = ln(0 + 5)⁴ — 4·0 = 4ln5 ≈ 8

y(-4) = ln(-4 + 5)⁴ — 4·(-4) = ln1 + 16 = 16

Ответ: 16 

Понравилось? Нажмите