Задание 12. Математика ЕГЭ. Найдите наименьшее значение функции f(x) = e^2x – 4e^x + 7 на отрезке [-1; 1].

Задание.

Найдите наименьшее значение функции f(x) = e^2x – 4e^x + 7 на отрезке [-1; 1].

Решение:

Область определения функции: все числа

Найдем точки экстремума, для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

f^´(x) = 2e^2x – 4e^x

f^´(x) = 0

2e^2x – 4e^x = 0

2e^x(e^x – 2) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, а другой при этом не теряет смысла, т.е.

 e^x > 0,   e^x – 2 = 0

e^x – 2 = 0

e^x = 2

x = ln2

Найдем значение функции в точке x = ln2 и на границах отрезка [-1; 1].

f(-1) = e^-2 – 4e^-1 + 7

f(ln2) = e^2ln2 – 4e^ln2 + 7 = 4 – 8 + 7 = 3

f(1) = e² – 4e + 7

Значит, наименьшее значение функции равно 3

Ответ: 3

Понравилось? Нажмите