Задание 12. Математика ЕГЭ. Найдите точку максимума функции

Задание. 

Найдите точку максимума функции y = (x – 5)2·ex – 7 

Решение:

Точка максимума функции — это точка экстремума функции, в которой производная меняет свой знак с положительного на отрицательный. Для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Найдем производную заданной функции:

y′ = 2(x – 5)·ex – 7 + (x – 5)2·ex– 7 

Найдем нули производной:

y′ = 0

2(x – 5)·ex – 7 + (x – 5)2·ex– 7 = 0

 ex – 7·(2x – 10 + x2 – 10x + 25) = 0

 x2 – 8x + 15 = 0

 x1 = 3   и   x2 = 5

Отметим точки 3 и 5 на числовой прямой и расставим знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)

Задание12в7_1

В точке х = 3  производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Ответ: 3 

Понравилось? Нажмите
Рубрики
Яндекс.Метрика