Задание 13. ЕГЭ. Решите уравнение cos2x-sin2x=cosx+sinx+1

Задание. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5п/2; -п].

Решение:

а) Решите уравнение

ОДЗ уравнения: R

Используя формулу косинуса двойного угла cos2α = cos² α – sin²α, формулу синуса двойного угла sin2α = 2sinα·cosα, основное тригонометрическое тождество cos² α + sin²α = 1, преобразуем уравнение:

Воспользуемся методом группировки:

Уравнение состоит из двух множителей. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, т. е.

Решим первое уравнение:

sinx + cosx = 0

Получили однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Так как sinx и cosx обращаются в нуль в различных точках, т. е. не могут быть одновременно равными нулю, то можно обе части уравнения разделить на cosx:

Решим второе уравнение:

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5п/2; -п].

Выберем корни уравнения при помощи единичной окружности

Ответ:

Понравилось? Нажмите