Задание 13. Математика ЕГЭ. Решить тригонометрическое уравнение

Задание.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [-5π/2; -π]

Решение:

а) Решите уравнение 

ОДЗ уравнения:

Преобразуем знаменатель второй дроби, воспользуемся формулами приведения.

Так как под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится выражение (π/2 + x), то наименование тригонометрической функции меняем на родственное, т. е. синус — на косинус.

Так как (π/2 + x) — аргумент из первой четверти, то в ней преобразуемая функция синус имеет знак плюс. Получим sin(π/2 + x) = cosx

Тогда уравнение имеет вид:

Приведем к общему знаменателю

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, получим

7sin²x – cosx + cos²x = 0

Из основного тригонометрического тождества sin²x + cos²x = 1, выразим sin²x = 1 –cos²x

Тогда получим:

7(1 – cos²x) – cosx + cos²x = 0

7 – 7cos²x – cosx + cos²x = 0

– 6cos²x – cosx + 7 = 0

6cos²x + cosx – 7 = 0

Введем новую переменную, пусть cosx = a, тогда

6a² + a – 7 = 0

D = 169

a₁ = 1,   a₂ = — 7/2

Вернемся к первоначальной переменной, получим два уравнения:

cosx = 1 и cosx = — 7/2

Решим 1 уравнение:

cosx = 1

Решим 2 уравнение:

cosx = — 7/2

Уравнение не имеет решения, так как  — 1 ≤ cosx ≤ 1.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [-5π/2; -π]

Выберем корни при помощи единичной окружности

x = — 2π

Корни уравнения можно выбрать другим способом:

Ответ:

Понравилось? Нажмите