Задание 14. ЕГЭ. Основанием пирамиды SABC – равносторонний треугольник ABC. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания

Рубрика Задание 14, Решаем ЕГЭ по математике Комментарии (0)

Задание. Основанием пирамиды SABC – равносторонний треугольник ABC. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, точки M и N – середины рёбер BC и AB соответственно, причём SN = AM.

а) Докажите, что угол между прямыми AM и SN равен 60⁰.

б) Найдите расстояние между этими прямыми, если BC = 6.

Решение:

а) Докажите, что угол между прямыми AM и SN равен 60⁰.

Так как треугольник ΔАВС – равносторонний, то медиана АМ является высотой треугольника ΔАВС, т. е. АМ ⊥ ВС.

Проведем через точку N прямую DK ǁ AM, тогда DK ⊥ BC.

Проведем AD ǁ BC, тогда AD ⊥ DK.

Прямая АМ лежит в плоскости (АВС), а прямая SN пересекает плоскость (АВС).

Значит, прямые АМ и SN – скрещивающиеся прямые.

Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.

Прямые SN ∩ DK и DK ǁ AM, следовательно, искомый угол между прямыми AM и SN – это угол ∠DNS.

Прямая SA ⊥ (ABC), SD – наклонная к плоскости (АВС), AD – проекция SD на плоскость (АВС). Через основание D наклонной SD в плоскости (АВС) проведена прямая DK ⊥ AD, следовательно, то теореме о трёх перпендикулярах SD ⊥ DK.

Тогда треугольник ΔDNS – прямоугольный треугольник с углом ∠SDN = 90⁰.

Пусть АМ = а, по условию SN = AM, значит, SN = а.

Так как точка N – середина АВ, то NK – средняя линия треугольника ΔАВМ и NK = а/2.

Треугольники ΔADN = ΔBNK, DN = NK = а/2.

Тогда

Следовательно, угол между прямыми AM и SN равен 60⁰

б) Найдите расстояние между этими прямыми, если BC = 6.

Прямые АМ и SN – скрещивающиеся прямые.

Если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Плоскость (DNS) проходит через одну из скрещивающихся прямых SN параллельно прямой АМ.

Расстоянием между прямой АМ и плоскостью (DNS) является перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости (DNS).

Так как DN ⊥ AD, DN ⊥ SD и AD ∩ SD, то DN ⊥ плоскости (SAD). Прямая DN лежит в плоскости (DNS), тогда плоскость (DNS) ⊥ плоскости (SAD).

Так как АМ ⊥ AS, AM ⊥ AD и AS ∩ AD, то АМ ⊥ плоскости (SAD).

Из точки А опускаем перпендикуляр АЕ на линию пересечения плоскостей (DNS) и (SAD).

Перпендикуляр АЕ – расстояние между прямыми АМ и SN.

Треугольник ΔADS – прямоугольный с углом ∠SАD = 90⁰.

Площадь треугольника ΔADS равна половине произведения его катетов:

(1)