Задание 14. ЕГЭ. Основанием пирамиды TABCD является прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 26 и ВС = 18.

Задание. Основанием пирамиды TABCD является прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 26 и ВС = 18. Все боковые рёбра пирамиды равны 10√5. На рёбрах AB и CD отмечены соответственно точки N и M так, что BN = DM = 12. Через точки N и M проведена плоскость α, перпендикулярная ребру TA.

а) Докажите, что плоскость α проходит через точку K – середину ребра TA.

б) Найдите расстояние между прямыми TC и KN.

Решение:

а) Докажите, что плоскость α проходит через точку K – середину ребра TA.

Пусть MN пересекает AC в точке О.

Так как  MC = AN и MC ǁ AN, то ∠OMC = ∠ONA и ∠OCM = ∠OAN – накрест лежащие углы, то треугольники ΔOMC = ΔOAN. Значит, точка О – середина AC.

Из прямоугольного треугольника ΔADC (∠D = 90⁰) найдем AC:

AC² = AD² + DC²

AC² = 18² + 26² = 324 + 676 = 1000

AC = √1000 = 10√10

В треугольнике ΔATC:

AC = 10√10, AT = TC = 10√5, т. е. треугольник ΔATC – равнобедренный.

Используя теорему косинусов, найдем величину угла ∠ATC:

Т. е. треугольник ΔATC – прямоугольный с прямым углом ∠ATC.

По условию плоскость α, проходящая через точки N и M, перпендикулярна ребру TA.

Поэтому плоскость α параллельна прямой TC.

Следовательно, плоскость α пересекает плоскость (ATC) по прямой ОК, параллельной прямой TC.

ОK – средняя линия треугольника ΔATC, значит, точка K – середина ребра AT.

б) Найдите расстояние между прямыми TC и KN.

Прямая TC параллельна плоскости α, а прямая KN лежит в плоскости α.

Расстоянием между прямыми TC и KN является расстояние между прямой TC и плоскостью α.

Это расстояние равно длине перпендикуляра TK, проведенного от прямой TC к плоскости α.

Ответ: 5√5

Понравилось? Нажмите