Задание 14. ЕГЭ. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.

Задание. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания – точка С₁, причем СС₁ – образующая цилиндра, а АС – диаметр основания. Известно, что ∠АСВ = 45⁰, AB = 3√2, CC₁ = 6.

а) Докажите, что угол между прямыми AС₁ и BС равен 60⁰.

б) Найдите расстояние от точки В до прямой АС₁.

Решение:

а) Докажите, что угол между прямыми АС₁ и ВС равен 60⁰.

Проведем образующую ВВ₁, тогда ВВ₁С₁С – прямоугольник и ВС параллельна В₁С₁, поэтому угол между прямыми АС₁ и ВС равен углу между прямыми АС₁ и В₁С₁, т. е. равен углу ∠АС₁В₁.

Угол ∠АВС – вписанный в окружность угол, который опирается на диаметр основания цилиндра, следовательно, ∠АВС = 90⁰ и треугольник ΔАВС – прямоугольный треугольник.

Так как ВС ⊥ АВ и ВС ⊥ ВВ₁, тогда ВС ⊥ (АВВ₁).

Прямая ВС параллельна В₁С₁, значит В₁С₁ ⊥ (АВВ₁) и В₁С₁ ⊥ АВ₁,

т. е. треугольник ΔАВ₁С₁ – прямоугольный треугольник (∠АВ₁С₁ = 90⁰).

Тогда

(1)

Так как угол ∠АСВ = 45⁰, то треугольник ΔАВС – прямоугольный равнобедренный треугольник,

т. е. АВ = ВС = В₁С₁ = 3√2.

Так как ВВ₁ ⊥ (АВС), то треугольник ΔАВВ₁ – прямоугольный треугольник,

по теореме Пифагора найдем В₁С₁:

АВ₁² = АВ² + ВВ₁²

Подставим значения АВ₁ и В₁С₁ в формулу (1), получим

б) Найдите расстояние от точки В до прямой АС₁.

Расстоянием от точки до прямой называется перпендикуляр, проведенный из этой точки к данной прямой.

Прямая АВ ⊥ ВС и АВ ⊥ ВВ₁, тогда АВ ⊥ (ВВ₁С₁) и АВ ⊥ ВС₁, т. е. треугольник ΔАВС₁ – прямоугольный треугольник (∠АВС₁ = 90⁰).

Тогда расстоянием от точки В до прямой АС₁ является высота треугольника ΔАВС₁, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе АС₁, т. е. ВК.

Площадь треугольника ΔАВС₁ равна:

Площадь треугольника ΔАВС₁ можно найти другим способом:

Приравняем правые части этих формул:

(2)

AB = 3√2

Из прямоугольного ΔВB₁С₁ по теореме Пифагора найдем ВС₁:

ВС₁² = BB₁² + B₁C₁²

ВС₁ = 3√6

Из прямоугольного ΔAВС₁ по теореме Пифагора найдем AС₁:

AС₁² = AB² + BC₁²

AС₁ = 6√2

Подставим значения АВ, ВС₁ и АС₁ в формулу (2), получим

Ответ: 1,5√6

Понравилось? Нажмите