Задание 14. ЕГЭ. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 14.

Задание. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 14.

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 6 : 1. Найдите площадь сечения MNB.

Решение:

а) Докажите, что эта пирамида правильная.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

По условию AB = BC = AC = 14, следовательно, основание пирамиды – правильный треугольник ΔАВС.

Треугольники ΔABD = ΔACD (АВ = АС, АD – общая), ΔACD = ΔBCD (ВС = АС, СD – общая), ΔBCD = ΔAВD (ВС = АВ, ВD – общая).

Т. е. боковые рёбра пирамиды равны AD = BD = CD.

Если в пирамиде все боковые рёбра равны между собой, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

В данном случае отрезок DO, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пирамида ABCD – правильная пирамида.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 6 : 1. Найдите площадь сечения MNB.

Так как AD = BD и ∠ADB = 900, то треугольник ΔADB – равнобедренный прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем AD:

Треугольники ΔMDN и ΔADC подобны (∠D – общий угол, DM : DA = DN : DC = 6 : 7). Тогда

Так как

Рассмотрим ΔАВМ, в котором ∠МAB = 450. По теореме косинусов, найдем ВМ:

Треугольник ΔMNB – равнобедренный треугольник, в котором BM = BN. Тогда медиана BK является высотой треугольника ΔMNB, т. е. BK ⊥ MN.

Из прямоугольного треугольника ΔВМK (∠ВKM = 900) найдем BK:

Площадь треугольника ΔMNB равна половине произведения основания MN на высоту BK:

Ответ: 6√134

Понравилось? Нажмите
Рубрики
Яндекс.Метрика