Задание 14. ЕГЭ. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 9√2.Задание. В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 9√2. а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 2 : 7. Найдите площадь сечения MNB. Решение: а) Докажите, что эта пирамида правильная. Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. По условию AB = BC = AC = 9√2, следовательно, основание пирамиды – правильный треугольник ΔАВС. Треугольники ΔABD = ΔACD (АВ = АС, АD – общая), ΔACD = ΔBCD (ВС = АС, СD – общая), ΔBCD = ΔAВD (ВС = АВ, ВD – общая). Т. е. боковые рёбра пирамиды равны AD = BD = CD. Если в пирамиде все боковые рёбра равны между собой, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания. В данном случае отрезок DO, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Пирамида ABCD – правильная пирамида. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 2 : 7. Найдите площадь сечения MNB. Так как AD = BD и ∠ADB = 900, то треугольник ΔADB – равнобедренный прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем AD: Треугольники ΔMDN и ΔADC подобны (∠D – общий угол, DM : DA = DN : DC = 6 : 7). Тогда Так как Рассмотрим ΔАВМ, в котором ∠МAB = 450. По теореме косинусов, найдем ВМ: Треугольник ΔMNB – равнобедренный треугольник, в котором BM = BN. Тогда медиана BK является высотой треугольника ΔMNB, т. е. BK ⊥ MN. Из прямоугольного треугольника ΔВМK (∠ВKM = 900) найдем BK: Площадь треугольника ΔMNB равна половине произведения основания MN на высоту BK: Ответ: √166
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|