Задание 14. ЕГЭ. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 5.Задание. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 5. На ребре SC отмечена точка K, причём SK : KC = 1 : 3. Плоскость α содержит точку K и параллельна плоскости SAD. а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α – трапеция. б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка S, а основанием – сечение пирамиды SABCD плоскостью α. Решение: а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α – трапеция. Построим сечение пирамиды SABCD плоскостью α. По условию плоскость α содержит точку K и параллельна плоскости SAD. Используя свойство параллельных плоскостей (Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны), последовательно проведем прямые KM ǁ SD, MN ǁ AD, NL ǁ AS и соединим точки K и L. Искомое сечение KMNL построено. Докажем, что KMNL – трапеция. Так как KL ǁ AD и MN ǁ AD, то KL ǁ MN. Прямые NL ǁ AS, MK ǁ SD, AS ∩ SD, тогда NL и MK не параллельны. Следовательно, KMNL – трапеция. б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка S, а основанием – сечение пирамиды SABCD плоскостью α. Пирамида, вершиной которой является точка S, а основанием – сечение пирамиды SABCD плоскостью α, является пирамида SMNLK, выделенная на рисунке красным цветом (см. рис. 1). Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Площадь трапеции равна MN = BC = 4 Треугольники ΔSLK и ΔSBC подобны (по первому признаку подобия треугольников; ∠S – общий, LK ǁ BC, ∠SKL = ∠SCB – соответственные углы), следовательно, По условию Получим LK = 1 Треугольники ΔSBC и ΔSAD – равнобедренные, тогда медианы SR и SP треугольников ΔSBC и ΔSAD соответственно являются их высотами, а значит, плоскость (SPR) ⊥ AD. Так как AD ǁ MN, то (SPR) ⊥ MN. Плоскости (SPR) и (MNLK) пересекаются по прямой OT, следовательно, OT ⊥ MN и OT – высота трапеции MNLK. Треугольники ΔRPS и ΔRTO подобны (по первому признаку подобия треугольников; ∠R – общий, SP ǁ OT, ∠RPS = ∠RTO – соответственные углы), следовательно, Из прямоугольного треугольника ΔSAP (ÐSPA = 900) по теореме Пифагора найдем SP: SA2 = SP2 + AP2 SP2 = SA2 – AP2 SA = 5, AP = 2 SP2 = 52 – 22 = 25 – 4 = 21 SP = √21 Треугольник ΔRPS – равнобедренный, значит, SP = SR = √21 Тогда высота ОТ равна: Площадь трапеции равна Проведем в треугольнике ΔRPS высоту RF, т. е. RF ^ SP. Так как SP ǁ OT, то RF ⊥ ОТ. Отрезок RF пересекает ОТ в точке Е, тогда отрезок EF – расстояние от прямой SP до прямой ОТ. Плоскости (SAD) и (MNLK) параллельны, точка S лежит в плоскости (SAD), а отрезок ОТ лежит в плоскости (MNLK), тогда отрезок EF – расстояние от точки S до плоскости (MNLK). Следовательно, отрезок EF – высота пирамиды SMNLK, т. е. EF = SH. Треугольники ΔRPS и ΔRTO подобны, значит, По теореме косинусов найдем угол ∠SPR: Используя основное тригонометрическое тождество, найдем sin∠SPR: Из прямоугольного треугольника ΔRPF (ÐPFR = 900) найдем RF: Тогда А так как EF = SH, подставим полученные данные в формулу объема пирамиды: Ответ:
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|