Задание 14. ЕГЭ. В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA1B1C1 площадь нижнего основания ABC в четыре раза больше площади меньшего основания A1B1C1.

Задание. В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA₁B₁C₁ площадь нижнего основания ABC в четыре раза больше площади меньшего основания A₁B₁C₁. Через ребро AC проведена плоскость α, которая пересекает ребро BB₁ в точке K и делит пирамиду на два многогранника равного объема.

а) Докажите, что точка K делит ребро BB₁ в отношении 7 : 1, считая от точки B.

б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью α, если высота пирамиды равна 2√2, а ребро меньшего основания равно 2√6.

Решение:

а) Докажите, что точка K делит ребро BB₁ в отношении 7 : 1, считая от точки B.

Пусть площадь нижнего  основания S_ABC = S, площадь верхнего основания S_A1B1C1 = S₁, высота усечённой пирамиде ABCA₁B₁C₁ равна B₁H₁ = h, высота пирамиды KABC равна KH = h₁.

По условию площадь нижнего основания ABC в четыре раза больше площади меньшего основания A₁B₁C₁, т. е. S = 4S₁.

Плоскость α делит пирамиду на два многогранника равного объема, т. е. V_ус.пир. = 2V_KABC, или

(1)

Объем усеченной пирамиды V_ABCA1B1C1 вычисляется по формуле

Объем пирамиды V_KABC вычисляется по формуле

Подставим найденные объемы в формулу (1), получим

Треугольники ΔB₁H₁B и ΔKHB подобны (по 1 признаку подобия треугольников; ∠B – общий, ∠H₁ = ∠H – прямые углы), следовательно,

т. е.

б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью α, если высота пирамиды равна 2√2, а ребро меньшего основания равно 2√6

Ребро меньшего основания правильной треугольной усечённой пирамиды А₁В₁ = 2√6,

 

а высота пирамиды В₁Н₁ = 2√2.

По условию ABCA₁B₁C₁– правильная усеченная пирамида, поэтому треугольники ΔАВС и ΔА₁В₁С₁ подобны. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т. е.

Значит,

Медиана BF треугольника ΔАВС является его высотой.

Из прямоугольного треугольника ΔАВF (∠F = 90⁰) найдем BF:

Точки О и О₁ – центры треугольников ΔАВС и ΔА₁В₁С₁, т. е. точки О и О₁ – точки пересечения медиан, биссектрис и высот треугольников ΔАВС и ΔА₁В₁С₁.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины, т. е.

Так как треугольники ΔАВС и ΔА₁В₁С₁ подобны (k = 2), то

Тогда B₁O₁ = OH₁ = H₁B = 2√2.

Так как треугольники ΔB₁H₁B и ΔKHB подобны, найдем KH и HB:

Из прямоугольного треугольника ΔKFH (∠H = 90⁰) найдем KF:

Площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью α (ΔACK) равна

Ответ: 13√6

Понравилось? Нажмите