Задание 14. ЕГЭ. В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA1B1C1 площадь нижнего основания ABC в девять раз больше площади меньшего основания A1B1C1.

Задание. В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA₁B₁C₁ площадь нижнего основания ABC в девять раз больше площади меньшего основания A₁B₁C₁. Через ребро AВ проведена плоскость α, которая пересекает ребро СС₁ в точке N и делит пирамиду на два многогранника равного объема.

а) Докажите, что точка N делит ребро CC₁ в отношении 5 : 13, считая от точки C₁.

б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью α, если высота пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.

Решение:

а) Докажите, что точка N делит ребро CC₁ в отношении 5 : 13, считая от точки C₁.

Пусть площадь нижнего основания S_ABC = S, площадь верхнего основания S_A1B1C1 = S₁, высота усечённой пирамиды ABCA₁B₁C₁ равна C₁H₁ = h, высота пирамиды NABC равна NH = h₁.

По условию площадь нижнего основания ABC в девять раз больше площади меньшего основания A₁B₁C₁, т. е. S = 9S₁.

Плоскость α, которая пересекает ребро СС₁ в точке N, делит пирамиду на два многогранника равного объема, т. е. V_ус.пир. = 2V_NABC, или

(1)

Объем усеченной пирамиды V_ABCA1B1C1 вычисляется по формуле

Объем пирамиды V_NABC вычисляется по формуле

Подставим найденные объемы в формулу (1), получим

Треугольники ΔC₁H₁C и ΔNHC подобны (по первому признаку подобия треугольников; ∠C – общий,  ∠H₁ = ∠H – прямые углы), следовательно,

т. е.

б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью α, если высота пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.

Ребро меньшего основания правильной треугольной усечённой пирамиды А₁C₁ = А₁B₁ = B₁C₁ = 3,

а высота пирамиды C₁Н₁ = 13.

По условию ABCA₁B₁C₁– правильная усеченная пирамида, поэтому треугольники ΔАВС и ΔА₁В₁С₁ подобны.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т. е.

Значит,

Медиана CF треугольника ΔАВС является его высотой.

Из прямоугольного треугольника ΔАCF (ÐF = 90⁰) найдем CF:

Точки О и О₁ – центры треугольников ΔАВС и ΔА₁В₁С₁, т. е. точки О и О₁ – точки пересечения медиан, биссектрис и высот треугольников ΔАВС и ΔА₁В₁С₁.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины, т. е.

Так как треугольники ΔАВС и ΔА₁В₁С₁ подобны (k = 3), то

Тогда H₁C = CO – OH₁ = 3√3 — √3 = 2√3

Так как треугольники ΔC₁H₁C и ΔNHC подобны, найдем NH и HC:

Из прямоугольного треугольника ΔNFH (ÐH = 90⁰) найдем NF:

Площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью α (ΔABN) равна

Ответ: 48,5

Понравилось? Нажмите