Задание 14. Математика ЕГЭ. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона AB основания которой равна 16, а боковое ребро BB1 равно 4√3.Задание. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона AB основания которой равна 16, а боковое ребро BB1 равно 4√3. На ребрах AB и B1C1 отмечены точки K и L соответственно, причем AK = B1L = 6. Точка M – середина ребра A1C1. Плоскость γ проходит через точки K и L и параллельна прямой AC. а) Докажите, что плоскость γ перпендикулярна прямой BM. б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости γ. Решение: a) Докажите, что плоскость γ перпендикулярна прямой BM. Проведем через точки K и L прямые, параллельные AC. Эти прямые пересекают ребро BC в точке K1 и ребро A1B1 в точке L1 (см. рис. 1). Тогда равнобедренная трапеция KL1LK1 является сечением призмы ABCA1B1C1 плоскостью γ. Рассмотрим плоскость BB1M. Эта плоскость пересекает прямую AC в точке N, прямую KK1 в точке E и прямую LL1 в точке F. Четырехугольник BB1MN – прямоугольник. Рассмотрим прямоугольный треугольник A1MB1. MB1 = A1B1·sin600 MB1 = NB = 8√3. Рассмотрим прямоугольный треугольник MB1B. По теореме Пифагора найдем MB. MB2 = MB12 + BB12 MB2 = (8√3)2 + (4√3)2 = 240 = 16·15 MB = 4√3. По теореме Фалеса: B1F : MB1 = B1L : B1C1 = 6 : 16 = 3 : 8. B1F : MB1 = 3 : 8. B1F = 3·MB1/8 B1F = (3·8√3)/8 = 3√3. Проведем KS параллельно AA1. Рассмотрим прямоугольный треугольник KSL1: KS = AA1 = 4√3 SL1 = A1L1 — A1S A1L1 = A1B1 — B1L = 16 – 6 = 10 A1S = AK = 6 SL1 = A1L1 — AK = 4 По теореме Пифагора: KL12 = KS2 + SL12 KL12 = (4√3)2 + 42 = 64 KL1 = 8 Треугольник ABC и треугольник KBK1 подобные треугольники, значит AC : KK1 = AB : KB 16 : KK1 = 16 : 10 KK1 = 10. Треугольник A1B1C1 и треугольник L1BL подобные треугольники, значит A1C1 : LL1 = A1B1 : B1L1 16 : LL1 = 16 : 6 LL1 = 6. Рассмотрим равнобедренную трапецию KL1LK1, EF – высота трапеции. Проведем PL1 параллельно EF, тогда KP = (KK1 — LL1)/2 = 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник KPL1. По теореме Пифагора: PL12 = KL12 – KP2 PL12 = 82 — 42 = 60 =4·15 EF = PL1 = 2√15. Рассмотрим рисунок 2. Из прямоугольного треугольника MBB1: Из прямоугольного треугольника TEF: Рассмотрим треугольник MFO: То есть прямые MB и EF перпендикулярны. Прямая KK1 параллельна прямой АС, которая перпендикулярна плоскости BB1M. Значит, прямые KK1 и EF перпендикулярны прямой MB, поэтому прямая MB перпендикулярна плоскости γ. б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости γ. Смотри рисунок 3. Так как A1C1 параллельна плоскости сечения γ, а MB перпендикулярна плоскости сечения γ, то расстояние от точки C1 до плоскости сечения γ равно отрезку MO. Рассмотрим треугольник MEF (рис. 2). Найдем площадь этого треугольника: TE = BB1, MF =MB1 — B1F = 8√3 — 3√3 = 5√3 Площадь треугольник MEF можно найти другим способом, выразим MO: MO = 2S/EF
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|