Задание 14. Математика ЕГЭ. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и BC = 6. Длины боковых ребер пирамиды SA = √21, SB = √85, SD = √57. Докажите, что SA – высота пирамиды. Найдите угол между прямыми SC и BD.Задание. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и BC = 6. Длины боковых ребер пирамиды SA = √21, SB = √85, SD = √57. а) Докажите, что SA – высота пирамиды. б) Найдите угол между прямыми SC и BD. Решение: а) Докажите, что SA – высота пирамиды. Рассмотрим треугольник SAB. По теореме, обратной теореме Пифагора (Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный), стороны этого треугольника удовлетворяют равенству: SB2 = SA2 + AB2 Следовательно, треугольник SAB – прямоугольный, Рассмотрим треугольник SAD. По теореме, обратной теореме Пифагора, стороны этого треугольника удовлетворяют равенству: SD2 = AD2 + SA2 Следовательно, треугольник SAD – прямоугольный, Так как Значит, SA – высота пирамиды. б) Найдите угол между прямыми SC и BD. SC и BD – скрещивающиеся прямые. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым. Пусть точка О – точка пересечения диагоналей BD и AC основания пирамиды. Через точку О проведем прямую KO II SC. Тогда углом между скрещивающимися прямыми SC и BD является угол между прямыми KO и ВD, т.е. ∠KOD. Так как точка О – середина АС и KO II SC, то точка К – середина SA, т.е. КО – средняя линия треугольника ASC. SA перпендикулярна плоскости ABC, SB – наклонная к плоскости ABC, АВ – проекция наклонной SB на плоскость ABC. Тока В – основание наклонной, через точку В проходит прямая ВС перпендикулярно проекции АВ (ABCD – прямоугольник), тогда по теореме о трех перпендикулярах прямая ВС перпендикулярна наклонной SB. Следовательно, треугольник SBC – прямоугольный (∠B = 90˚). По теореме Пифагора найдем SC: SC2 = SB2 + BC2 SC2 = (√85)2 + 62 = 121 SC = 11 KO = 5,5 Так как в основании пирамиды лежит прямоугольник, то треугольник BCD – прямоугольный (∠С = 90˚). По теореме Пифагора найдем BD: BD2 = DC2 + BC2 BD2 = 82 + 62 = 100 BD = 10 DO = 5 Рассмотрим прямоугольный треугольник AKD (∠A = 90˚). По теореме Пифагора найдем DK: DK2 = AD2 + AK2 AK = √21/2 По теореме косинусов найдем cos∠KOD: DK2 = DO2 + KO2 – 2·DO·KO· cos∠KOD Ответ:
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|
Елена Васильевна! Спасибо за решение ! Очень понравилось! Все четко, ясно и понятно!Успехов Вам!