Задание 14. Математика ЕГЭ. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и BC = 6. Длины боковых ребер пирамиды SA = √21, SB = √85, SD = √57. Докажите, что SA – высота пирамиды. Найдите угол между прямыми SC и BD.

Задание.

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и BC = 6. Длины боковых ребер пирамиды SA = √21, SB = √85, SD = √57.

а) Докажите, что SA – высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

Задание14в13_1

Решение:

а) Докажите, что SA – высота пирамиды.

Рассмотрим треугольник SAB. По теореме, обратной теореме Пифагора (Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный), стороны этого треугольника удовлетворяют равенству:

SB2 = SA2 + AB2

Задание14в13_2

Следовательно, треугольник SAB – прямоугольный,

Задание14в9_6

Рассмотрим треугольник SAD. По теореме, обратной теореме Пифагора, стороны этого треугольника удовлетворяют равенству:

SD2 = AD2 + SA2

Задание14в13_3

Следовательно, треугольник SAD – прямоугольный,

Задание14в9_61

Так как

Задание14в9_6 и

Задание14в9_5, тогда

Задание14в9_62.

Значит, SA – высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

Задание14в13_4

SC и BD – скрещивающиеся прямые. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым. Пусть точка О – точка пересечения диагоналей BD и AC основания пирамиды. Через точку О проведем прямую KO II SC. Тогда углом между скрещивающимися прямыми SC и BD является угол между прямыми KO и ВD, т.е. ∠KOD.

Так как точка О – середина АС и KO II SC, то точка К – середина SA, т.е. КО – средняя линия треугольника ASC.

Задание14в13_5

SA перпендикулярна плоскости ABC, SB – наклонная к плоскости ABC, АВ – проекция наклонной SB на плоскость ABC. Тока В – основание наклонной, через точку В проходит прямая ВС перпендикулярно проекции АВ (ABCD – прямоугольник), тогда по теореме о трех перпендикулярах  прямая ВС перпендикулярна наклонной SB.

Следовательно, треугольник SBC – прямоугольный (∠B = 90˚). По теореме Пифагора найдем SC:

SC2 = SB2 + BC2

SC2 = (√85)2 + 62 = 121

SC = 11

KO = 5,5

Так как в основании пирамиды лежит прямоугольник, то треугольник BCD – прямоугольный (∠С = 90˚). По теореме Пифагора найдем BD:

BD2 = DC2 + BC2

BD2 = 82 + 62 = 100

BD = 10

DO = 5

Рассмотрим прямоугольный треугольник AKD (∠A = 90˚). По теореме Пифагора найдем DK:

DK2 = AD2 + AK2

AK = √21/2

Задание14в13_6

По теореме косинусов найдем cos∠KOD:

DK2 = DO2 + KO2 – 2·DO·KO· cos∠KOD

Задание14в13_7

Ответ:

Задание14в13_8

Понравилось? Нажмите
  • любовь:

    Елена Васильевна! Спасибо за решение ! Очень понравилось! Все четко, ясно и понятно!Успехов Вам!

Оставить комментарий

Рубрики
Яндекс.Метрика