Задание 14. Математика ЕГЭ. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 4. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1 = 1 : 3. Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BED1. Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.

Задание.

В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 4. На ребре AA₁ отмечена точка E так, что AE : EA₁ = 1 : 3.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BED₁.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED₁.

Решение:

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и BED₁.

Построим плоскость BED₁. Точки E и D₁ лежат в одной плоскости, поэтому проведем прямую ED₁.

Точки Е и В лежат в одной плоскости, поэтому проведем прямую ЕВ. Так грани правильной четырехугольной призмы параллельны, проведем в грани ВВ₁С₁С прямую BF параллельно прямой ED₁. Точки F и D₁ лежат в одной плоскости, поэтому проведем прямую FD₁. Получили искомую плоскость BED₁.

Так как прямая ED₁ и прямая AD лежат в одной плоскости ADD₁, то они пересекаются в точке К,  лежащей в плоскости АВС. Точки К и В лежат в плоскостях АВС и BED₁, следовательно, плоскости ABC и BED₁ пересекаются по прямой КВ. Искомая прямая пересечения плоскостей ABC и BED₁ построена.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED₁

Отрезок АE перпендикулярен плоскости АВС, из точки Е опустим перпендикуляр EH на прямую КВ. Точка H лежит в плоскости АВС, тогда AH – проекция EH на плоскость АВС. Через точку H проходит прямая, перпендикулярная наклонной EH, тогда по теореме о трех перпендикулярах отрезок AH перпендикулярен прямой КВ.

Угол ∠EHA является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BED₁. Угол ∠EHA – искомый угол между плоскостями ABC и BED₁. Найдем величину этого угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник EHA (∠А = 90˚):

По условию AE : EA₁ = 1 : 3, тогда AE : AA₁ = 1 : 4.

Получим

Треугольники AKE и A₁D₁E подобны, тогда

A₁D₁ = 3, AE = 1, A₁E = AA₁ – AE = 3

AK = 1

Рассмотрим прямоугольный треугольник AKB (∠А = 90˚):

KB² = AK² + AB²

KB² = 1² + 3² = 10

KB = √10

Найдем AH:

Тогда

Ответ: 

Понравилось? Нажмите