Задание 14. Математика ЕГЭ. В правильной треугольной призме найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.

Задание.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны основания равны 3, боковые ребра равны 1, точка D – середина ребра CC₁.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADB₁.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB₁.

Решение:

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADB₁.

Построим плоскость ADB₁. Точки A и B₁ лежат в одной плоскости, проведем прямую AB₁. Точки A и D лежат в одной плоскости, проведем прямую AD. Точки D и B₁ лежат в одной плоскости,  проведем прямую DB₁. Получили сечение плоскостью ADB₁.

Построим прямую пересечения плоскостей ABC и ADB₁. Так как прямая B₁D и прямая BC лежат в одной плоскости BCC₁, то они пересекаются в точке К. Точка К лежит в плоскостях АВС и ADB₁. Точки К и А лежат в плоскостях АВС и ADB₁, следовательно, плоскости ABC и ADB₁ пересекаются по прямой AК. Искомая прямая пересечения плоскостей ABC и BED₁ построена.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB₁.

Отрезок DC перпендикулярен плоскости АВС, из точки D опустим перпендикуляр DH на прямую AК. Точка H лежит в плоскости АВС, тогда CH – проекция наклонной DH на плоскость АВС. Через точку H проходит прямая AK, перпендикулярная наклонной DH, тогда по теореме о трех перпендикулярах отрезок CH перпендикулярен прямой AК.

Угол ∠DHC является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и ADB₁. Угол ∠DHC – искомый угол между плоскостями ABC и ADB₁. Найдем величину этого угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DHC (∠C = 90˚):

Так как точка D – середина отрезка CC₁, то DC = DC₁ = 0,5.

Треугольники DCK и DC₁B₁ подобны, тогда

CK = 3

Так как призма ABCA₁B₁C₁ – правильная, то ∠ACB = 60°. Углы ∠ACB и ∠ACК – смежные углы, тогда ∠ACК = 120°.

Так как AC = CK = 3, то треугольник ACK – равнобедренный треугольник и CH – высота и биссектриса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH – прямоугольный (∠H = 90˚). Угол ∠ACH = 60°, ∠CAH = 30°. По свойству прямоугольного треугольника: против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенуза, получим

Тогда

Ответ:

 

Понравилось? Нажмите