Задание 14. Математика ЕГЭ. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1, сторона AB основания которой равна 7, а боковое ребро AA1 равно √14.

Задание.

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁, сторона AB основания которой равна 7, а боковое ребро AA₁ равно √14. На ребрах BC и C₁D₁ отмечены  точки K и L соответственно, причем BK = 4; C₁L = 1. Плоскость γ проходит через точки K и L и параллельна прямой BD.

а) Докажите, что плоскость γ перпендикулярна прямой A₁C.

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой является точка C, а основанием – сечение данной призмы плоскостью γ.

рис.1

Решение:

а) Докажите, что плоскость γ перпендикулярна прямой A₁C.

Проведем через точки K и L прямые, параллельные BD. Эти прямые пересекают ребро DC в точке K₁ и ребро D₁C₁ в точке L₁ (см. рис. 1). Тогда равнобедренная трапеция KK₁L₁L является сечением призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью γ.

Рассмотрим плоскость ACC₁. Эта плоскость пересекает прямую BD в точке N, прямую KK₁ в точке E и прямую LL₁ в точке F. Четырехугольник ACC₁A₁ – прямоугольник.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CND, так как призма ABCDA₁B₁C₁D₁ – правильная, то в основании лежит квадрат, AC – диагональ грани ABCD и угол DCN равен 45⁰. Тогда

ND = DC·sin45⁰

ND = (7·√2)/2

AC² = AD² + DC²

AC² = 7² + 7² = 2·49 = 7√2

A₁C₁ = AC = 7√2

Треугольник NCD подобен треугольнику ECK₁, получаем:

EK₁ : ND = K₁C : DC

EK₁ : ((7·√2)/2) = 3 : 7

EK₁ = (3√2)/2

EC : CN = CK₁ : DC

EC : ((7·√2)/2) = 3 : 7

EC = (3√2)/2

Треугольник MC₁D₁ подобен треугольнику FC₁L₁, получаем:

FL₁ : MD₁ = L₁C₁ : D₁C₁

FL₁ : ((7·√2)/2) = 1 : 7

FL₁ = √2/2

FC₁ : MC₁ = L₁C₁ : D₁C₁

FC₁ : ((7·√2)/2) = 1 : 7

FC₁ = √2/2

Тогда HK₁ = EK₁ – FL₁ = (3√2)/2 – √2/2 = √2

L₁P = AA₁ = √14;  PC = L₁C₁ = 1

K₁P = DC – (DK₁ + PC) = 7 – (4 + 1) =2

Рассмотрим прямоугольный треугольник L₁PK₁:

L₁K₁² = L₁P² + K₁P²

L₁K₁² = (√14)² + 2² = 18

L₁K₁ = 3√2

Рассмотрим прямоугольный треугольник L₁HK₁:

EF = L₁H

L₁H² = L₁K₁² – HK₁²

L₁H² = (3√2)² – (√2)² = 16

L₁H = 4, EF = 4.

Рассмотрим рисунок 2.

ET = EC – FC₁ = (3√2)/2 – √2/2 = √2

Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁CC₁:

A₁C₁ = 7√2,  CC₁ = AA₁ = √14

Рассмотрим прямоугольный треугольник FET:

FT = AA₁ = √14

ET = EC – FC₁ = (3√2)/2 – √2/2 = √2

То есть прямые A₁C и EF перпендикулярны. Прямая KK₁ параллельна прямой BD, которая перпендикулярна плоскости ACC₁. Значит, прямые KK₁ и EF перпендикулярны прямой A₁C, поэтому прямая A₁C перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой является точка C, а основанием – сечение данной призмы плоскостью γ. Смотри рисунок 3.

рис.3

Объем пирамиды равен:

Так как  A₁C перпендикулярна плоскости сечения  γ, то CO — высота пирамиды.

Рассмотрим треугольник EFC (рис. 2). Найдем площадь этого треугольника:

EC = (3√2)/2

ET = AA₁ = √14

Площадь треугольник EFC можно найти другим способом:

CO = 2S/EF

Площадь основания пирамиды — это площадь сечения, т.е. площадь трапеции KL₁LK_1.

Ответ: 

Понравилось? Нажмите