Задание 15. Математика ЕГЭ. Решите неравенство

Задание.

Решите неравенство

Решение:

1) Найдем ОДЗ неравенства:

Решим неравенство 2x² – 3x > 0 методом интервалов:

2x² – 3x = 0

x(2x – 3) = 0

x₁ = 0,    x₂ = 1,5

x ϵ (- ∞; 0); (1,5; + ∞)

Решим неравенство 17x – 20 – 3x² > 0 методом интервалов:

17x – 20 – 3x² > 0

3x² – 17x + 20 < 0

3x² – 17x + 20 = 0

D = 49

x₁ = 5/3,    x₂ = 4

x ϵ (5/3; 4)

Решим неравенство методом интервалов

Нули числителя: 4/3, нули знаменателя: — 1.

x ϵ (- ∞; -1); (4/3; + ∞)

Решим неравенство

3x – 4 ≠ x + 1

2x ≠ 5

x ≠ 2,5

Объединяя все полученные решения, находим ОДЗ неравенства: x ϵ (5/3; 2,5); (2,5; 4).

2) Преобразуем неравенство

Для решения данного неравенства лучше всего воспользоваться методом рационализации. Этот метод позволяет перейти от неравенства, содержащего сложное логарифмическое выражение к равносильному ему более простому рациональному неравенству, т. е. log_h(x)f(x) – log_h(x)g(x) равносильно рациональному выражению (h(x) – 1)(f(x) – g(x)).

Получим:

Решим неравенство методом интервалов:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, т. е.

Решим уравнение

Дробь равна нулю тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, т. е.

2x – 5 = 0

2x = 5

x = 2,5

x + 1 ≠ 0

x ≠ — 1

Решим уравнение

5x² – 20x + 20 = 0

D = 0

x₁ = 2

Учитывая ОДЗ, получим

Ответ: 

Понравилось? Нажмите