Задание 16. ЕГЭ. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 12.Задание. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 12. Известно, что AB = BC = CD = 18. а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны. б) Найдите AD. Решение: а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны. Проведем диагональ АС в четырёхугольнике ABCD. Так как хорды AB = CD, то равны дуги ᴗAB = ᴗCD. Угол ∠BCA – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу ᴗAB. Угол ∠CAD – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу ᴗCD. Значит, ∠BCA = ∠CAD – накрест лежащие углы при прямых BC и AD, AC – секущей. Следовательно, прямые BC и AD параллельны. б) Найдите AD. Так как АВ = ВС, то треугольник ΔАВС – равнобедренный, следовательно, ∠BCA = ∠ВAС = α. Углы ∠BCA = ∠CAD – накрест лежащие углы, тогда ∠ВAD = ∠BAC + ∠CAD = 2α. Четырёхугольник ABCD – равнобедренная трапеция, значит, ∠CDA = ∠BAD = 2α. Около треугольника ΔАВС описана окружность, тогда по теореме синусов имеет место равенство: Используя основное тригонометрическое тождество, получим Из треугольника ΔACD по теореме синусов найдем АС: Пусть AD = x, тогда из треугольника ΔACD по теореме косинусов:
Если x = 18, то четырёхугольник ABCD вписанный в окружность является квадратом (по условию ABCD – трапеция). В этом случае радиус окружности равен R = 9√2, а это противоречит условию задачи (R = 12). Следовательно, AD = 13,5. Ответ: 13,5
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|