Задание 16. ЕГЭ. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 27.

Задание. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 27.

Известно, что AB = BC = CD = 36.

а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Решение:

а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.

Проведем диагональ АС  в четырёхугольнике ABCD.

Так как хорды AB = CD, то равны дуги ᴗAB = ᴗCD.

Угол ∠BCA – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу ᴗAB.

Угол ∠CAD – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу ᴗCD.

Значит, ∠BCA = ∠CAD – накрест лежащие углы при прямых BC и AD, AC – секущей.

Следовательно, прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Так как АВ = ВС, то треугольник ΔАВС – равнобедренный, следовательно, ∠BCA = ∠ВAС = α.

Углы ∠BCA = ∠CAD – накрест лежащие углы, тогда ∠ВAD = ∠BAC + ∠CAD = 2α.

Четырёхугольник ABCD – равнобедренная трапеция, значит, ∠CDA = ∠BAD = 2α.

Около треугольника ΔАВС описана окружность, тогда по теореме синусов имеет место равенство:

Используя основное тригонометрическое тождество, получим

Из треугольника ΔACD по теореме синусов найдем АС:

Пусть AD = x, тогда из треугольника ΔACD по теореме косинусов:

Если x = 36, то четырёхугольник ABCD вписанный в окружность является квадратом (по условию ABCD – трапеция). В этом случае радиус окружности равен R = 18√2, а это противоречит условию задачи (R = 27).

Следовательно, AD = 44.

Ответ: 44

Понравилось? Нажмите