Задание 16. ЕГЭ. Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD

Задание. Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M, а также пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N.

а) Докажите, что AM = AN.

б) Найдите отношение CD : DN, если AB : BC = 1 : 3, а cos∠BAD = 0,4.

Решение:

а) Докажите, что AM = AN.

Пусть в параллелограмме ABCD угол ∠B = β, ∠С = α.

∠B + ∠C = α +  β = 180⁰

∠B = 180⁰ – α

Так как BC ǁ AD, а CD – секущая, то ∠С = ∠ADN = α.

Угол ∠ADN – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу ᴗAN,

угол ∠AMN – вписанный в окружность угол, который также опирается на дугу ᴗAN.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, т. е. ∠ADN = ∠AMN = α.

Четырехугольник ABMN – вписанный в окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180⁰, т. е.

∠ABM + ∠ANM = 180⁰

∠ANM = 180⁰ – ∠ABM

∠ABM = ∠B = 180⁰ – α

Тогда

∠ANM = 180⁰ – ∠ABM = 180⁰ – (180⁰ – α) = 180⁰ – 180⁰  + α = α.

Так как ∠AMN = ∠ANM, то треугольник ΔAMN – равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны: AM = AN.

б) Найдите отношение CD : DN, если AB : BC = 1 : 3, а cos∠BAD = 0,4.

Рассмотрим трапецию ABMD. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция ABMD – равнобедренная трапеция.

Так как AB : BC = 1 : 3, то пусть AB = CD = x, тогда BC = AD = 3x.

Проведем в трапеции ABMD высоты BH и MK.

Прямоугольные треугольники ΔABH = ΔDMK, AH = KD, ∠BAH = ∠MDK = α.

Из прямоугольного треугольника ΔABH найдем AH:

Тогда AH = KD = 0,4x

BM = HK = AD – 2·AH = 3x – 2·0,4x = 2,2x

MC = BC – BM = 3x – 2,2x = 0,8x

Прямые CB и CN – секущие к окружности, проведенные из одной точки.

Если из точки, лежащие вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть, т. е.

BC · MC = CN · CD.

DN = CN – CD = 2,4x – x = 1,4x

Тогда отношение:

Ответ: 5 : 7

Понравилось? Нажмите