Задание 16. ЕГЭ. Точка О – центр вписанной в треугольник АВС окружности.

Задание. Точка О – центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Е.

а) Докажите, что ∠ЕОС = ∠ЕСО.

б) Найдите площадь треугольника АСЕ, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 6√3, ∠АВС = 60⁰.

Решение:

а) Докажите, что ∠ЕОС = ∠ЕСО.

Так как точка О – центр вписанной в треугольник ΔАВС окружности, то она является точкой пересечения биссектрис CО, ВО и AО треугольника ΔАВС.

Угол ∠ЕОС – внешний угол треугольника ΔВОС, тогда ∠ЕОС равен сумме двух углов треугольника ΔВOС, не смежных с ним, т. е.

∠ЕОС = ∠ВСО + ∠СВО

Так как СО – биссектриса угла ∠С треугольника ΔАВС, то

Так как BО – биссектриса угла ∠B треугольника ΔАВС, то

Получим

Угол ∠ECО равен: ∠ECО = ∠АСO + ∠ECA

Угол ∠АСO = ∠ВCО (CО – биссектриса).

Угол ∠ECA – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу ᴗAE.

На дугу ᴗAE также опирается угол ∠AВE = ∠CВO (BО – биссектриса).

Значит, ∠ECО = ∠ВCО + ∠CBО, т.е.

Следовательно, ∠ЕОС = ∠ЕСО.

б) Найдите площадь треугольника АСЕ, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 6√3, ∠АВС = 60⁰.

Около треугольника ΔCВE описана окружность с радиусом R = 6√3 и ∠CВE =∠CВО = 30⁰, тогда для треугольника ΔCBE справедливо равенство

Угол ∠CBE – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу ᴗCE,

угол ∠EВA – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу ᴗAE.

Так как ∠СВЕ = ∠ЕВА, то ᴗCE = ᴗAE и хорды СЕ и АЕ равны, т. е. СЕ = АЕ = 6√3.

Угол ∠АBС = 60⁰ – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу ᴗАEС и ᴗАEС = 120⁰.

Значит, дуга ᴗАВС = 360⁰ — ᴗАEС = 360⁰ – 120⁰ = 240⁰.

Угол ∠АЕС – вписанный в окружность угол равен половине дуги ᴗАВC, на которую он опирается, т. е. угол ∠АЕС = 120⁰.

Площадь треугольника ΔАСЕ равна

Ответ: 27√3

Понравилось? Нажмите