Задание 16. ЕГЭ. В треугольнике ABC все стороны различны. Докажите, что AD = CF.

Задание. В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD – диаметр этой окружности.

а) Докажите, что AD = CF.

б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 12,

BAC = 350, ACB = 650.

Решение:

а) Докажите, что AD = CF.

Так как вписанный угол ∠BAD опирается на диаметр BD, то треугольник ΔABD – прямоугольный треугольник (∠BAD = 900).

Пусть угол ABD = α, тогда угол ∠ADB = 900 – α.

Вписанный угол ∠ADB опирается на дугу ᴗAB.

На дугу ᴗAB также опирается вписанный угол ∠AСB, значит ∠AСB = ∠ADB = 900 – α.

Так как ВН – высота треугольника ΔАВС, то треугольник ΔВСН – прямоугольный треугольник (∠BНС = 900).

Тогда угол ∠СВН = 900 – ∠ВСН.

∠ВСН = ∠AСB = 900 – α.

СВН = 900 –(900 – α) = α.

Следовательно, ABD = СВН = α.

Вписанный угол ∠ABD опирается на дугу ᴗAD, вписанный угол ∠СВF = ∠СВН опирается на дугу ᴗCF.

Так как ∠ABD = ∠СВF, то ᴗAD = ᴗCF, значит, хорды AD = CF.

б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 12, ∠BAC = 350, ∠ACB = 650.

Треугольник ΔBDF – вписанный в окружность треугольник, тогда по теореме синусов имеет место равенство:

В треугольнике ΔАВС: ∠BAC = 350, ∠ACB = 650, тогда ∠АВС = 1800 – (∠BAC + ∠ACB)

АВС = 1800 – (350 + 650) = 800

В прямоугольном треугольнике Δ ΔВСН угол СВН = α = 900 – 650 = 250.

Тогда угол DBF = ∠АВС – 2α = 800 — 2·250 = 300.

Следовательно,

Ответ: 12

Понравилось? Нажмите
Рубрики
Яндекс.Метрика