Задание 16. ЕГЭ. В треугольнике ABC все стороны различны. Докажите, что AD = CF.Задание. В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD – диаметр этой окружности. а) Докажите, что AD = CF. б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 12, ∠BAC = 350, ∠ACB = 650. Решение: а) Докажите, что AD = CF. Так как вписанный угол ∠BAD опирается на диаметр BD, то треугольник ΔABD – прямоугольный треугольник (∠BAD = 900). Пусть угол ∠ABD = α, тогда угол ∠ADB = 900 – α. Вписанный угол ∠ADB опирается на дугу ᴗAB. На дугу ᴗAB также опирается вписанный угол ∠AСB, значит ∠AСB = ∠ADB = 900 – α. Так как ВН – высота треугольника ΔАВС, то треугольник ΔВСН – прямоугольный треугольник (∠BНС = 900). Тогда угол ∠СВН = 900 – ∠ВСН. ∠ВСН = ∠AСB = 900 – α. ∠СВН = 900 –(900 – α) = α. Следовательно, ∠ABD = ∠СВН = α. Вписанный угол ∠ABD опирается на дугу ᴗAD, вписанный угол ∠СВF = ∠СВН опирается на дугу ᴗCF. Так как ∠ABD = ∠СВF, то ᴗAD = ᴗCF, значит, хорды AD = CF. б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 12, ∠BAC = 350, ∠ACB = 650. Треугольник ΔBDF – вписанный в окружность треугольник, тогда по теореме синусов имеет место равенство: В треугольнике ΔАВС: ∠BAC = 350, ∠ACB = 650, тогда ∠АВС = 1800 – (∠BAC + ∠ACB) ∠АВС = 1800 – (350 + 650) = 800 В прямоугольном треугольнике Δ ΔВСН угол ∠СВН = α = 900 – 650 = 250. Тогда угол ∠DBF = ∠АВС – 2α = 800 — 2·250 = 300. Следовательно, Ответ: 12
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|