Задание 16. ЕГЭ. В треугольнике ABC все стороны различны. Докажите, что AC и KN параллельны.

Задание. В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN – диаметр этой окружности.

а) Докажите, что AC и KN параллельны.

б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6√6, ∠BAC = 30⁰, ∠ABC = 105⁰.

Решение:

а) Докажите, что AC и KN параллельны.

Так как вписанный в окружность угол ∠BKN опирается на диаметр BN, то треугольник ΔBKN – прямоугольный треугольник и ∠BKN = 90⁰. Значит,  KN ⊥ BK.

Так как ВН – высота треугольника ΔАВС, то AC ⊥ BK.

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти прямые параллельны, т. е. AC ǁ KN.

б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6√6, ∠BAC = 30⁰, ∠ABC = 105⁰.

Расстоянием от точки N до прямой АС называется перпендикуляр NM, проведенный из точки N к прямой АС.

В треугольнике ΔАВС: ∠BAC = 30⁰, ∠ABC = 105⁰, тогда ∠АСВ = 180⁰ – (∠BAC + ∠ABC)

∠АСВ = 180⁰ – (30⁰ + 105⁰) = 45⁰

Вписанный угол ∠ANB опирается на дугу ᴗAB.

На дугу ᴗAB также опирается вписанный угол ∠AСB, значит ∠ANB = ∠AСB = 45⁰.

Вписанный в окружность угол ∠BAN опирается на диаметр BN, тогда ∠BAN = 90⁰ и треугольник ΔABN – прямоугольный треугольник. Так как угол ∠ANB = 45⁰, то ∠ABN = 45⁰ и треугольник ΔABN – прямоугольный равнобедренный треугольник.

Найдем сторону AN треугольника ΔABN:

Так как угол ∠BAN = 90⁰, а угол ∠BAC = 30⁰, то угол ∠MAN = ∠BAN – ∠BAC = 90⁰ – 30⁰ = 60⁰.

Из прямоугольного треугольника ΔAMN (∠AMN  = 90⁰)  найдем NM:

Ответ: 18

Понравилось? Нажмите