Задание 16. ЕГЭ. В треугольнике ABC все стороны различны. Докажите, что AC и KN параллельны.

Задание. В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN – диаметр этой окружности.

а) Докажите, что AC и KN параллельны.

б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6√6, BAC = 300, ABC = 1050.

Решение:

а) Докажите, что AC и KN параллельны.

Так как вписанный в окружность угол ∠BKN опирается на диаметр BN, то треугольник ΔBKN – прямоугольный треугольник и ∠BKN = 900. Значит,  KN ⊥ BK.

Так как ВН – высота треугольника ΔАВС, то AC  BK.

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти прямые параллельны, т. е. AC ǁ KN.

б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6√6, ∠BAC = 300, ∠ABC = 1050.

Расстоянием от точки N до прямой АС называется перпендикуляр NM, проведенный из точки N к прямой АС.

В треугольнике ΔАВС: ∠BAC = 300, ∠ABC = 1050, тогда ∠АСВ = 1800 – (∠BAC + ∠ABC)

АСВ = 1800 – (300 + 1050) = 450

Вписанный угол ∠ANB опирается на дугу ᴗAB.

На дугу ᴗAB также опирается вписанный угол ∠AСB, значит ANB = ∠AСB = 450.

Вписанный в окружность угол ∠BAN опирается на диаметр BN, тогда ∠BAN = 900 и треугольник ΔABN – прямоугольный треугольник. Так как угол ∠ANB = 450, то ∠ABN = 450 и треугольник ΔABN – прямоугольный равнобедренный треугольник.

Найдем сторону AN треугольника ΔABN:

Так как угол ∠BAN = 900, а угол ∠BAC = 300, то угол ∠MAN = ∠BAN – ∠BAC = 900 – 300 = 600.

Из прямоугольного треугольника ΔAMN (∠AMN  = 900)  найдем NM:

Ответ: 18

Понравилось? Нажмите
Рубрики
Яндекс.Метрика