Задание 16. ЕГЭ. В треугольнике АВС известно, что АС = 10 и АВ = ВС = 14.

Задание. В треугольнике АВС известно, что АС = 10 и АВ = ВС = 14.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает окружность, вписанную в треугольник АВС.

б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС.

Решение:

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает окружность, вписанную в треугольник АВС.

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая пересекает окружность, т. е. средняя линия треугольника MN пересекает окружность, если OE < r.

Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти двумя способами.

1 способ:

Радиус, вписанной в треугольник ΔАВС окружности найдем используя формулу:

(1)

P = 2·AB + AC = 2·14 + 10 = 38

где Р – периметр треугольника ΔАВС, а r – вписанной в треугольник ΔАВС.

Площадь треугольника ΔАВС можно найти по формуле:

(2)

Из прямоугольного треугольника ΔАВH (∠H = 900) по теореме Пифагора найдем BH:

BH2 = AB2 – AH2

BH2 = 142 – 52 = 196 – 24 = 171

BH = √171

Приравнивая формулы (1) и (2) получим

2 способ:

Треугольники ΔABH и ΔOBT подобны (по первому признаку подобия треугольников; ∠ABH – общий, ∠BAH = ∠BOT), следовательно,

Найдем расстояние OE от центра окружности до средней линии треугольника MN:

Треугольники ΔMBE и ΔABH подобны (по первому признаку подобия треугольников; ∠ABH – общий, MN ǁ AC, ∠BME = ∠BAH – соответственные углы) с коэффициентом подобия k = 1/2, следовательно,

EH = 1/2 · BH

OE = EH – r

Сравниваем OE и r:

Получим, что OE < r, т. е. расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, следовательно, средняя линия треугольника MN пересекает окружность.

б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС.

Треугольник ΔOKL – равнобедренный треугольник, так как OK = OL = r.

OE – высота и медиана треугольника ΔOKL, следовательно, KL = 2KE.

Из прямоугольного треугольника ΔOKE (∠E = 900) по теореме Пифагора найдем KE:

KE2 = OK2 – OE2

MK = LN = (MN – KL)/2 = (5 – 3)/2 = 1

Тогда отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС:

MK : KL : LN = 1 : 3 : 1

Ответ: 1 : 3 : 1

Понравилось? Нажмите
Рубрики
Яндекс.Метрика