Задание 16. Математика ЕГЭ. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. В треугольнике MKC из вершины K проведена высота KH к стороне MC. В треугольнике KMA из вершины M проведена высота ME к стороне AK.

Рубрика Задание 16, Решаем ЕГЭ по математике Комментарии (0)

Задание.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. В треугольнике MKC из вершины K проведена высота KH к стороне MC. Аналогично в треугольнике KMA из вершины M проведена высота ME к стороне AK.

а) Докажите, что прямая EH параллельна прямой AC.

б) Найдите отношение EH к AC, если угол ABC = 45⁰.

Решение:

а) Докажите, что прямая EH параллельна прямой AC.

Так как, угол AKC = 90⁰, угол AMC = 90⁰, тогда отрезок AC виден из точек K и M под углом 90⁰. Поэтому точки A, M, K и C лежат на окружности (1), диаметром которой является отрезок AC (см. рис.1).

рис. 1. рис. 2.

Аналогично, угол MEK = 90⁰, угол MHK = 90⁰, тогда отрезок MK виден из точек E и H под углом 90⁰. Поэтому точки M, E, H и K лежат на окружности (2), диаметром которой является отрезок MK (см. рис.2).

Пусть угол KAC = α (см. рис. 3.)

рис. 3.

Угол KAC — вписанный в окружность (1) угол, который опирается на дугу KC. Угол KMC — вписанный в окружность (1) угол, который опирается на дугу KC. Следовательно, угол KAC равен углу KMC. Т.е.

Угол KMC — это угол KMH. Угол KMH — вписанный в окружность (2) угол, который опирается на дугу KH. Угол KEH — вписанный в окружность (2) угол, который опирается на дугу KH. Следовательно, угол KMH равен углу KEH, т.е.

Получаем, что

Угол KAC и угол KEH — соответственные углы при пересечении прямых EH и AC секущей AK. Тогда по признаку параллельности двух прямых , прямая EH параллельна прямой AC.

б) Найдите отношение EH к AC, если угол ABC = 45⁰.

Рассмотрим треугольник ΔOEH и треугольник ΔOAC (см. рис. 3.):