Задание 16. Математика ЕГЭ. В равнобедренном треугольнике ABC, где угол B – тупой, на продолжение стороны BC опущена высота AH. ИЗ точки H на стороны AB и AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.Задание. В равнобедренном треугольнике ABC, где угол B – тупой, на продолжение стороны BC опущена высота AH. ИЗ точки H на стороны AB и AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно. а) Докажите, что AM = MK. б) Найдите MK, если AB = 13, AC = 24. Решение: а) Докажите, что AM = MK. Так как, угол AKH = 900, угол AMH = 900, тогда отрезок AH виден из точек K и M под углом 900. Поэтому точки A, M, K и H лежат на окружности, диаметром которой является отрезок AH (см. рис.1). Угол AKM — вписанный в окружность угол, который опирается на дугу AM. Угол AHM — вписанный в окружность угол, который опирается на дугу AM. Следовательно, угол AKM равен углу AHM. Т.е. Треугольник ΔAHC – прямоугольный, тогда Треугольник ΔAHM – прямоугольный, тогда Из (1) и (2) равенства имеем, что Так как треугольник ΔABC – равнобедренный (AB = BC), то Получаем, что Тогда в треугольнике ΔAKM: Получаем, что треугольник ΔAKM – равнобедренный и AM = MK. б) Найдите MK, если AB = 13, AC = 24. Рассмотрим треугольник ΔAMH – прямоугольный, угол AHM = α, MK = AM Рассмотрим треугольник ΔABP – прямоугольный: BP2 = AB2 – AP2 BP2 = 132 – 122 = 25 BP = 5 Угол BAP = α Найдем площадь треугольника ΔABC: SABC = (1/2)·24·5 = 60 С другой стороны, площадь треугольника ΔABC можно найти Тогда, AH = 2· SABC/BC AH = (2·60)/13 = 120/13 Подставим полученные значения в равенство (1), получаем: MK = AM Ответ: 600/169
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|