Задание 16. Математика ЕГЭ. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям. Из точки A на сторону CD опустили перпендикуляр AH. Точка E принадлежит стороне AB, прямые CD и CE перпендикулярны.

Задание.

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям. Из точки A на сторону CD опустили перпендикуляр AH. Точка E принадлежит стороне AB, прямые CD и CE перпендикулярны.

а) Докажите, что прямая BH параллельна прямой ED.

б) Найдите отношение BH к ED, если угол BCD = 1350.

Задание16в1_1

Решение:

а) Докажите, что прямая BH параллельна прямой ED.

1 способ:

Рассмотрим четырехугольник ABCH. Так как угол ABC = 900, угол AHC = 900 и сумма этих углов равна 1800, то около четырехугольника ABCH можно описать окружность.

Вписанный угол ABH опирается на дугу AH, вписанный угол ACH опирается на дугу AH. Следовательно, угол ABH равен углу ACH.

Рассмотрим четырехугольник AECD. Так как угол ECD = 900, угол EAD = 900 и сумма этих углов равна 1800, то около четырехугольника AECD можно описать окружность.

Вписанный угол ACD опирается на дугу AD, вписанный угол AED опирается на дугу AD. Следовательно, угол ACD равен углу AED.

Задание16в1_2

Задание16в1_3

Следовательно,

Задание16в1_4

Рассмотрим  ΔOBH и ΔOED:

Задание16в1_5

Задание16в1_6

Следовательно,

Задание16в1_7

Задание16в1_8

По 1 признаку подобия треугольников, ΔOBH подобен ΔOED, получаем BH параллельна ED.

2 способ:

Рассмотрим треугольник ΔOBC и треугольник ΔOAD:

Задание16в1_8

Задание16в1_12

Следовательно, треугольник  ΔOBC подобен треугольнику  ΔOAD, тогда

OB : OA = OC : OD     (1)

Рассмотрим треугольник ΔOEC и треугольник ΔOAH:

Задание16в1_8

Задание16в1_13

Следовательно, треугольник  ΔOEC подобен треугольнику  ΔOAH, тогда

OE : OA = OC : OH   (2)

Разделим почленно первое равенство на второе:

Задание16в1_14

Задание16в1_15

Получим пропорцию:

Задание16в1_16

Так как,

Задание16в1_8

Следовательно, треугольник  ΔOBH подобен треугольнику  ΔOED, тогда BH параллельна ED.

б) Найдите отношение BH к ED, если угол BCD = 1350.

Так как угол BCD = 1350, то

Задание16в1_9

Треугольник ΔOCB – прямоугольный, равнобедренный (угол BOC= 450), тогда OB = BC.

Так как угол BCD = 1350  и угол ECD = 900, то

Задание16в1_10

Задание16в1_11

Треугольник ΔBCE – прямоугольный, равнобедренный (угол BEC= 450), тогда  BC = BE.

Тогда точка B – середина OE, OE = 2OB

Так как ΔOBH подобен ΔOED, получаем

OB : OE = BH : ED

BH : ED = OB : 2OB = 1 : 2

Ответ: 1 : 2

Понравилось? Нажмите

Оставить комментарий

Рубрики
Яндекс.Метрика