Задание 16. Математика ЕГЭ. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям. Из точки A на сторону CD опустили перпендикуляр AH. Точка E принадлежит стороне AB, прямые CD и CE перпендикулярны.Задание. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям. Из точки A на сторону CD опустили перпендикуляр AH. Точка E принадлежит стороне AB, прямые CD и CE перпендикулярны. а) Докажите, что прямая BH параллельна прямой ED. б) Найдите отношение BH к ED, если угол BCD = 1350. Решение: а) Докажите, что прямая BH параллельна прямой ED. 1 способ: Рассмотрим четырехугольник ABCH. Так как угол ABC = 900, угол AHC = 900 и сумма этих углов равна 1800, то около четырехугольника ABCH можно описать окружность. Вписанный угол ABH опирается на дугу AH, вписанный угол ACH опирается на дугу AH. Следовательно, угол ABH равен углу ACH. Рассмотрим четырехугольник AECD. Так как угол ECD = 900, угол EAD = 900 и сумма этих углов равна 1800, то около четырехугольника AECD можно описать окружность. Вписанный угол ACD опирается на дугу AD, вписанный угол AED опирается на дугу AD. Следовательно, угол ACD равен углу AED. Следовательно, Рассмотрим ΔOBH и ΔOED: Следовательно, По 1 признаку подобия треугольников, ΔOBH подобен ΔOED, получаем BH параллельна ED. 2 способ: Рассмотрим треугольник ΔOBC и треугольник ΔOAD: Следовательно, треугольник ΔOBC подобен треугольнику ΔOAD, тогда OB : OA = OC : OD (1) Рассмотрим треугольник ΔOEC и треугольник ΔOAH: Следовательно, треугольник ΔOEC подобен треугольнику ΔOAH, тогда OE : OA = OC : OH (2) Разделим почленно первое равенство на второе: Получим пропорцию: Так как, Следовательно, треугольник ΔOBH подобен треугольнику ΔOED, тогда BH параллельна ED. б) Найдите отношение BH к ED, если угол BCD = 1350. Так как угол BCD = 1350, то Треугольник ΔOCB – прямоугольный, равнобедренный (угол BOC= 450), тогда OB = BC. Так как угол BCD = 1350 и угол ECD = 900, то Треугольник ΔBCE – прямоугольный, равнобедренный (угол BEC= 450), тогда BC = BE. Тогда точка B – середина OE, OE = 2OB Так как ΔOBH подобен ΔOED, получаем OB : OE = BH : ED BH : ED = OB : 2OB = 1 : 2 Ответ: 1 : 2
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|
Добрый вечер, Елена Васильевна!
Замечательные наработки!
Спасибо!