Задание 21. ОГЭ. Решите yравнение (x^2 – 25)^2 + (x^2 + 3x – 10)^2 = 0

Задание. Решите yравнение (x² – 25)² + (x² + 3x – 10)² = 0

Решение:

(x² – 25)² + (x² + 3x – 10)² = 0 (1)

ОДЗ уравнения – все числа

Используя формулу квадрата разности двух выражений a² – b² = (a – b)(a + b) представим x² – 25 в виде x² – 25 = (x – 5)(x + 5).

Преобразуем выражение x² + 3x – 10, разложим его на множители, для этого воспользуемся правилом:

Если x₁ и x₂ – корни квадратного трехчлена ax² + bx + c, то ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂).

Найдем корни квадратного трехчлена x² + 3x – 10:

x² + 3x – 10 = 0

D = b² – 4ac

D = 3² — 4·1·(-10) = 9 + 40 = 49

Тогда квадратный трехчлен будет иметь вид:

x² + 3x – 10 = (x – 2)(x + 5).

Преобразуем данное уравнение (1):

(x² – 25)² + (x² + 3x – 10)² = 0

((x – 5)(x + 5))² + ((x – 2)(x + 5))² = 0

(x – 5)²(x + 5)² + (x – 2)²(x + 5)² = 0

Вынесем за скобки общий множитель (x + 5)², получим

(x + 5)²·((x – 5)² + (x – 2)²) = 0

(x + 5)²·(x² – 10x + 25 + x² – 4x + 4) = 0

(x + 5)²·(2x² – 14x + 29) = 0

Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, т. е.

(x + 5)²= 0

x + 5= 0

x = — 5

или

2x² – 14x + 29 = 0

D = (-14)² — 4·2·29 = 196 – 232 = — 36

Так как D < 0, то уравнение 2x² – 14x + 29 = 0 не имеет корней.

Следовательно, корнем уравнения (x² – 25)² + (x² + 3x – 10)² = 0 является значение – 5.

Ответ: — 5

Понравилось? Нажмите