Задание 14. Математика ЕГЭ. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона AB основания которой равна 32, а боковое ребро BB1 равно 4√3.Задание. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона AB основания которой равна 32, а боковое ребро BB1 равно 4√3. На ребрах AB и B1C1 отмечены точки K и L соответственно, причем AK = 2; B1L = 28. Точка M – середина ребра A1C1. Плоскость γ проходит через точки K и L и параллельна прямой AC. а) Докажите, что плоскость γ перпендикулярна прямой BM. б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка M, а основанием – сечение данной призмы плоскостью γ. Решение: a) Докажите, что плоскость γ перпендикулярна прямой BM. Проведем через точки K и L прямые, параллельные AC. Эти прямые пересекают ребро BC в точке K1 и ребро A1B1 в точке L1 (см. рис. 1). Тогда равнобедренная трапеция KL1LK1 является сечением призмы ABCA1B1C1 плоскостью γ. Рассмотрим плоскость BB1M. Эта плоскость пересекает прямую AC в точке N, прямую KK1 в точке E и прямую LL1 в точке F. Четырехугольник BB1MN – прямоугольник. Рассмотрим прямоугольный треугольник A1MB1. MB1 = A1B1·sin600 MB1 = NB = 16√3. Рассмотрим прямоугольный треугольник MB1B. По теореме Пифагора найдем MB. MB2 = MB12 + BB12 MB2 = (16√3)2 + (4√3)2 = 816 = 16·51 MB = 4√51. По теореме Фалеса: NE : NB = AK : AB = 2 : 32 = 1 : 16 NE : NB =1 : 16 NE = NB/16 NE = (16√3)/16 = √3. По теореме Фалеса: B1F : MB1 = B1L : B1C1 = 28 : 32 = 7 : 8. B1F : MB1 = 7 : 8. B1F = 7·MB1/8 B1F = (7·16√3)/8 = 14√3. Проведем KS параллельно AA1. Рассмотрим прямоугольный треугольник KSL1: KS = AA1 = 4√3 SL1 = A1L1 — A1S A1L1 = A1B1 — B1L = 32 – 28 = 4 A1S = AK = 2 SL1 = 2 По теореме Пифагора: KL12 = KS2 + SL12 KL12 = (4√3)2 + 22 = 52 KL1 = √52 Треугольник ABC и треугольник KBK1 подобные треугольники, значит AC : KK1 = AB : KB 32 : KK1 = 32 : 30 KK1 = 30. Треугольник A1B1C1 и треугольник L1B1L подобные треугольники, значит A1C1 : LL1 = A1B1 : B1L1 32 : LL1 = 32 : 28 LL1 = 28. Рассмотрим равнобедренную трапецию KL1LK1, EF – высота трапеции. Проведем PL1 параллельно EF, тогда KP = (KK1 — LL1)/2 = 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник KPL1. По теореме Пифагора: PL12 = KL12 – KP2 PL12 = (√52)2 — 12 = 52 – 1 = 51 EF = PL1 = √51. Рассмотрим рисунок 2. Из прямоугольного треугольника MBB1: Из прямоугольного треугольника TEF: Рассмотрим треугольник MFO: То есть прямые MB и EF перпендикулярны. Прямая KK1 параллельна прямой АС, которая перпендикулярна плоскости BB1M. Значит, прямые KK1 и EF перпендикулярны прямой MB, поэтому прямая MB перпендикулярна плоскости γ. б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка M, а основание – сечение данной призмы плоскостью γ. Смотри рисунок 3. Объем пирамиды равен: Так как MB перпендикулярна плоскости сечения γ, то MO — высота пирамиды. Рассмотрим треугольник MEF (рис. 2). Найдем площадь этого треугольника: TE = BB1, MF =MB1 — B1F = 16√3 — 14√3 = 2√3 Площадь треугольник MEF можно найти другим способом: MO = 2S/EF Площадь основания пирамиды — это площадь сечения, т.е. площадь трапеции KL1LK1. Ответ: 232
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|
у вас опечатка подобные треугольники не L1BL ,L1B1L )) Не примите за придирчивость )
Спасибо!))) Признательна за указание опечаток!)
Как мы нашли стороны основания трапеции K1K и L1L
Стороны основания трапеции находят: K1K находят из отношения сторон подобных треугольников ABC и KBK1; L1L находят из отношения сторон подобных треугольников A1B1C1 и L1B1L.
Спасибо большое, очень помогло. Всё понятно, и оказалось довольно просто, хоть и на 10 страниц.
Как я это всё на ЕГЭ буду расписывать- вообще не представляю. Я час только на написание потрачу)))
А как мы нашли MO,по какому признаку?
Мы же её выразили из площади,я понял
Разве точка L не должна находиться ближе к точке C1. Ведь в условии сказано ,что B1L=28, а вся длина прямой составляет 32
На решение задачи это не влияет