Задание 12. Математика ЕГЭ. Найдите точку максимума функции y = (2x – 3)cosx – 2sinx + 2, принадлежащую промежутку (0; π/2)Задание. Найдите точку максимума функции y = (2x – 3)cosx – 2sinx + 2, принадлежащую промежутку (0; π/2). Решение: Точка максимума функции – это точка экстремума функции, в которой производная меняет свой знак с положительного на отрицательный. Для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю. Функция определена на всей числовой прямой. Найдем производную функции: y´ = (2x – 3)´·cosx + (2x – 3)·(cosx)´ – (2sinx)´ y´ = 2cosx – (2x – 3)sinx – 2cosx = – (2x – 3)sinx y´ = – (2x – 3)sinx y´ = 0 – (2x – 3)sinx = 0 (3 – 2x)sinx = 0 Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, а другой при этом не теряет смысла, т.е. 3 – 2x = 0 и sinx = 0 Решим 1 уравнение: 3 – 2x = 0 x = 3/2 x = 1,5 Решим 2 уравнение: sinx = 0 x = 0 не принадлежит промежутку (0; π/2) Отметим точку x = 1,5 на числовой прямой, учитывая промежуток (0; π/2) и найдем знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок) В точке x = 1,5 производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это искомая точка максимума. Ответ: 1,5
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|