Задание 14. Математика ЕГЭ. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = √11 и BC = 2√3. Длины боковых ребер пирамиды SA = 5, SB = 6, SD = √37.Задание. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = √11 и BC = 2√3. Длины боковых ребер пирамиды SA = 5, SB = 6, SD = √37. а) Докажите, что SA – высота пирамиды. б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB. Решение: а) Докажите, что SA – высота пирамиды.
Рассмотрим треугольник SAB. По теореме, обратной теореме Пифагора (Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный), стороны этого треугольника удовлетворяют равенству: SB2 = SA2 + AB2 Следовательно, треугольник SAB – прямоугольный, Рассмотрим треугольник SAD. По теореме, обратной теореме Пифагора, стороны этого треугольника удовлетворяют равенству: SD2 = AD2 + SA2 Следовательно, треугольник SAD – прямоугольный, Так как тогда Значит, SA – высота пирамиды. б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. SA перпендикулярна плоскости ABC, SB – наклонная к плоскости ABC, АВ – проекция наклонной SB на плоскость ABC. Тока В – основание наклонной, через точку В проходит прямая ВС перпендикулярно проекции АВ (ABCD – прямоугольник), тогда по теореме о трех перпендикулярах прямая ВС перпендикулярна наклонной SB. Прямая ВС перпендикулярна двум пересекающимся прямым АВ и SB, лежащим в плоскости ASB, следовательно ВС перпендикулярна плоскости ASB. Проекцией SС на плоскость ASB будет прямая SB. Таким образом, угол между прямой SС и плоскостью ASB является угол между прямой SС и ее проекцией SB на эту плоскость, т. е ∠BSC. Рассмотрим прямоугольный треугольник BSC: Ответ: 30˚
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|