Задание 14. Математика ЕГЭ. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N – середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.Задание. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N – середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C. б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка С, а основанием – сечение пирамиды SABC плоскостью α. Решение: а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C. Так как точки M и N – середины ребер SA и SB, то MN – средняя линия треугольника ABS, то есть MN II AB. AB лежит в плоскости (ABC), следовательно MN II (ABC), поэтому сечение (плоскость α) пересекает плоскость ABC по прямой PQ, параллельной MN. Таким образом, секущая плоскость представляет собой трапецию MNQP. Так как SABC – правильная пирамида, то точка О – центр основания пирамиды, СЕ – медиана треугольника ABC. Медиана СЕ треугольника ABC делится точкой О в отношении 2:1. Рассмотрим треугольник ABS. SЕ – медиана треугольника ABS. Точка К – точка пересечения плоскости MNQ и прямой MN, а также точка К – середина SЕ. Точка L – точка пересечения плоскости MNQ и прямой PQ. Плоскость SCE пересекает плоскость MNQ по прямой KL. Плоскости SCE и MNQ перпендикулярны плоскости ABC. Следовательно, KL перпендикулярна плоскости основания ABC. SO перпендикулярна плоскости основания ABC. Значит, KL II SO. Точка К – середина SЕ, тогда точка L – середина ЕО. KL – средняя линия треугольника SOE. Итак, получим б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка С, а основанием – сечение пирамиды SABC плоскостью α. Объем пирамиды равен Плоскость MNQ перпендикулярна плоскости ABC, следовательно CL перпендикулярна плоскости MNQ и является высотой пирамиды CMNQP, т.е. CL = h. Секущая плоскость представляет собой трапецию MNQP, которая является основанием пирамиды CMNQP, т.е. Sосн = SMNQP. Площадь трапеции MNQP равна MN – средняя линия треугольника ABC. Так как Треугольники CPQ и ABC подобны, тогда KL – высота трапеции MNPQ. KL – средняя линия треугольника SOE. Из прямоугольного треугольника SOC по теореме Пифагора найдем SO. Найдем высоту пирамиды CMNQP: Тогда объем пирамиды:
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|