Задание 14. Математика ЕГЭ. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N – середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.Задание. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N – середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C. б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α. Решение: а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C. Так как точки M и N – середины ребер SA и SB, то MN – средняя линия треугольника ABS, то есть MN II AB. AB лежит в плоскости (ABC), следовательно MN II (ABC), поэтому сечение (плоскость α) пересекает плоскость ABC по прямой PQ, параллельной MN. Таким образом, секущая плоскость представляет собой трапецию MNQP. Так как SABC – правильная пирамида, то точка О – центр основания пирамиды, СЕ – медиана треугольника ABC. Медиана СЕ треугольника ABC делится точкой О в отношении 2:1. Рассмотрим треугольник ABS. SЕ – медиана треугольника ABS. Точка К – точка пересечения плоскости MNQ и прямой MN, а также точка К – середина SЕ. Точка L – точка пересечения плоскости MNQ и прямой PQ. Плоскость SCE пересекает плоскость MNQ по прямой KL. Плоскости SCE и MNQ перпендикулярны плоскости ABC. Следовательно, KL перпендикулярна плоскости основания ABC. SO перпендикулярна плоскости основания ABC. Значит, KL II SO. Точка К – середина SЕ, тогда точка L – середина ЕО. KL – средняя линия треугольника SOE. Итак, получим б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α. Периметр MNQP равен: P = MN + NQ + PQ + PM MN – средняя линия треугольника ABC. Так как Треугольники CPQ и ABC подобны, тогда KL – высота трапеции MNPQ. KL – средняя линия треугольника SOE. Из прямоугольного треугольника SOC по теореме Пифагора найдем SO. Так как пирамида SABC – правильная, то трапеция MNQP – равнобедренная, т. е. PM = MN. Найдем PM, для этого проведем MF II KL, MF = KL = 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник PMF, по теореме Пифагора найдем PM: PM2 = MF2 + PF2 PM = √2 Тогда периметр равен: P = 3 + √2 + 5 + √2 = 8 + 2√2 Ответ: 8 + 2√2
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|
Если рассмотреть прямоугольный треугольник NBQ где BQ= 1/6CB=1 а NB=1/2SB=2, тогда NQ равно корень из 3 и ответ получается другой. Почему? Как правильно?
Треугольник NBQ не является прямоугольным.