Задание 14. Математика ЕГЭ. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N – середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

Задание.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA  равно 4. Точки M и N – середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN  и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α  делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

Решение:

а) Докажите, что плоскость α  делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.

Так как точки M и N – середины ребер SA и SB, то MN  – средняя линия треугольника ABS, то есть MN II AB.  AB лежит в плоскости (ABC), следовательно MN II (ABC), поэтому сечение (плоскость α) пересекает плоскость ABC по прямой PQ, параллельной MN. Таким образом, секущая плоскость представляет собой трапецию MNQP.

Так как SABC – правильная пирамида, то точка О – центр основания пирамиды, СЕ – медиана треугольника ABC. Медиана СЕ треугольника ABC делится точкой О в отношении 2:1.

Рассмотрим треугольник ABS. SЕ – медиана треугольника ABS. Точка К – точка пересечения плоскости MNQ и прямой MN, а также точка К – середина SЕ. Точка L – точка пересечения плоскости MNQ и прямой PQ.

Плоскость SCE пересекает плоскость MNQ по прямой KL. Плоскости SCE и MNQ перпендикулярны плоскости ABC. Следовательно, KL перпендикулярна плоскости основания ABC.

SO перпендикулярна плоскости основания ABC. Значит, KL II SO. Точка К – середина SЕ, тогда точка L – середина ЕО. KL – средняя линия треугольника SOE.

Итак, получим

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

 

Периметр MNQP равен: P = MN + NQ + PQ + PM

MN – средняя линия треугольника ABC.

Так как

Треугольники CPQ и ABC подобны, тогда

KL – высота трапеции MNPQ. KL – средняя линия треугольника SOE.

Из прямоугольного треугольника SOC по теореме Пифагора найдем SO.

Так как пирамида SABC  – правильная, то трапеция MNQP – равнобедренная, т. е. PM = MN.

Найдем PM, для этого проведем MF II KL, MF = KL = 1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник PMF, по теореме Пифагора найдем PM:

PM² = MF² + PF²

PM = √2

Тогда периметр равен: P = 3 + √2 + 5 + √2 = 8 + 2√2

Ответ: 8 + 2√2

Понравилось? Нажмите