Задание 12. ЕГЭ. Найдите наибольшее значение функции.

Задание. Найдите наибольшее значение функции y = (x² + 22x – 22)·e^{2 – x} на отрезке [0; 5].

Решение:

Найдем точки экстремума, для этого необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Функция определена при всех значения x.

Найдем производную функции:

Найдем нули производной:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла:

Отметим точки 0; 2 и 5 числовой прямой и расставим знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную:

В точке x = 2 производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это искомая точка максимума функции на отрезке [0; 5].

Найдем значение функции при x = 2:

Значение y(2) = 26 является наибольшим значением функции на отрезке [0; 5].

Ответ: 26

P. S. Наибольшее значение функции y = (x² + 22x – 22)e^{2 – x} на отрезке [0; 5] можно найти другим способом. После нахождения экстремума функции, достаточно вычислить значения функции на концах отрезка и в точке экстремума, принадлежащей данному отрезку:

Ответ: 26

Понравилось? Нажмите