Задание 12. Математика ЕГЭ. Найдите точку минимума функции y = (6 – 4x)cosx + 4sinx + 6, принадлежащую промежутку (0; π/2)

Задание.

Найдите точку минимума функции y = (6 – 4x)cosx + 4sinx + 6, принадлежащую промежутку (0; π/2).

Решение:

Точка минимума функции – это точка экстремума функции, в которой производная меняет свой знак с отрицательного на положительный. Для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Область определения функции: все числа, кроме 0.

Найдем производную функции:

y´ = (6 – 4x)´·cosx + (6 – 4x)·(cosx)´ + (4sinx)´

y´ = — 4cosx – (6 – 4x)sinx + 4cosx = – (6 – 4x)sinx

y´ = – (6 – 4x)sinx

y´ = 0

– (6 – 4x)sinx = 0

(6 – 4x)sinx

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, а другой при этом не теряет смысла, т.е.

6 – 4x = 0    и    sinx = 0

Решим 1 уравнение:

6 – 4x = 0

x = 3/2

x = 1,5

Решим 2 уравнение:

sinx = 0

x = 0 не принадлежит промежутку (0; π/2)

Отметим точку x = 1,5 на числовой прямой, учитывая промежуток (0; π/2) и найдем знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)

В точке x = 1,5 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это искомая точка минимума.

Ответ: 1,5

Понравилось? Нажмите