Задание 13. Математика ЕГЭ. Решить тригонометрическое уравнение

Задание.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π; -π/2].

Решение:

а) Решите уравнение

 Преобразуем знаменатель второй дроби:

sin(9π/2 + x) = sin(4π + π/2 + x) = sin(π/2 + x).

Воспользуемся формулами приведения.  Так как  под знаком  преобразуемой тригонометрической  функции содержится  выражение  (π/2 + x),  то наименование тригонометрической функции меняем на родственное,  т. е. синус — на косинус.

Так как  (π/2 + x) — аргумент из второй четверти, то в ней преобразуемая функция синус имеет знак плюс.

Получим: sin(9π/2 + x) = sin(π/2 + x) = cosx

 Поучим следующее уравнение:

ОДЗ:

Ведем новую переменную, пусть

Получим уравнение:

7a² – a – 6 = 0

D = 169

a₁ = 1,  a₂ = — 6/7

Вернемся к первоначальной переменной, получим 2 уравнения:

(1)

(2)

Решим 1 уравнение:

cosx = 1

Решим 2 уравнение

cosx = — 7/6

Уравнение не имеет решения, так как  — 1 ≤ cosx ≤ 1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π; -π/2].

Выберем корни при помощи единичной окружности

Выберем корни другим способом:

Ответ:

Понравилось? Нажмите