Задание 13. Математика ЕГЭ. Решите уравнение 2sin2x — 4cosx + 3 sinx — 3 = 0.

Задание:

а) Решите уравнение 2sin2x — 4cosx + 3 sinx — 3 = 0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

Решение:

а) Решите уравнение

2sin2x — 4cosx + 3 sinx — 3 = 0.

ОДЗ уравнения – все числа.

Преобразуем данное уравнения, воспользуемся формулой двойного аргумента: sin2x = 2sinx·cosx.

4sinx·cosx — 4cosx + 3 sinx — 3 = 0.

Сгруппируем 1 и 2 слагаемые, вынесем за скобки общий множитель 4cosx. Сгруппируем 3 и 4 слагаемые, вынесем за скобки общий множитель 3, получим:

4cosx(sinx — 1) + 3(sinx — 1) = 0

Вынесем за скобки общий множитель (sinx — 1), получим:

(sinx — 1)·(4cosx + 3) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Тогда получаем два уравнения:

sinx — 1 = 0 (1)   или  4cosx + 3 = 0 (2)

Решим 1 уравнение:

sinx — 1 = 0

sinx = 1

Решим 2 уравнение:

4cosx + 3 = 0

4cosx = — 3

cosx = -3/4

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

С помощью единичной окружности отберем корни на отрезке [π; 5π/2].

Получим:

Ответ:

Понравилось? Нажмите