Задание 14. ЕГЭ. Основанием пирамиды SABC – равносторонний треугольник ABC. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основанияЗадание. Основанием пирамиды SABC – равносторонний треугольник ABC. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, точки M и N – середины рёбер BC и AB соответственно, причём SN = AM. а) Докажите, что угол между прямыми AM и SN равен 600. б) Найдите расстояние между этими прямыми, если BC = 3√2. Решение: а) Докажите, что угол между прямыми AM и SN равен 600. Так как треугольник ΔАВС – равносторонний, то медиана АМ является высотой треугольника ΔАВС, т. е. АМ ⊥ ВС. Проведем через точку N прямую DK ǁ AM, тогда DK ⊥ BC. Проведем AD ǁ BC, тогда AD ⊥ DK. Прямая АМ лежит в плоскости (АВС), а прямая SN пересекает плоскость (АВС). Значит, прямые АМ и SN – скрещивающиеся прямые. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым. Прямые SN ∩ DK и DK ǁ AM, следовательно, искомый угол между прямыми AM и SN – это угол ∠DNS. Прямая SA ⊥ (ABC), SD – наклонная к плоскости (АВС), AD – проекция SD на плоскость (АВС). Через основание D наклонной SD в плоскости (АВС) проведена прямая DK ⊥ AD, следовательно, то теореме о трёх перпендикулярах SD ⊥ DK. Тогда треугольник ΔDNS – прямоугольный треугольник с углом ∠SDN = 900. Пусть АМ = а, по условию SN = AM, значит, SN = а. Так как точка N – середина АВ, то NK – средняя линия треугольника ΔАВМ и NK = а/2. Треугольники ΔADN = ΔBNK, DN = NK = а/2. Тогда Следовательно, угол между прямыми AM и SN равен 600 б) Найдите расстояние между этими прямыми, если BC = 3√2. Прямые АМ и SN – скрещивающиеся прямые. Если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой. Плоскость (DNS) проходит через одну из скрещивающихся прямых SN параллельно прямой АМ. Расстоянием между прямой АМ и плоскостью (DNS) является перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости (DNS). Так как DN ⊥ AD, DN ⊥ SD и AD ∩ SD, то DN ⊥ плоскости (SAD). Прямая DN лежит в плоскости (DNS), тогда плоскость (DNS) ⊥ плоскости (SAD). Так как АМ ⊥ AS, AM ⊥ AD и AS ∩ AD, то АМ ⊥ плоскости (SAD). Из точки А опускаем перпендикуляр АЕ на линию пересечения плоскостей (DNS) и (SAD). Перпендикуляр АЕ – расстояние между прямыми АМ и SN. Треугольник ΔADS – прямоугольный с углом ∠SАD = 900. Площадь треугольника ΔADS равна половине произведения его катетов: Или площадь треугольника ΔADS равна половине произведения его основания на высоту: Из равенства формул (1) и (2) получим: Основание пирамиды SABC – равносторонний треугольник ΔABC, тогда АВ = ВС = АС = 3√2. Из прямоугольного треугольника ΔАВМ (∠АМВ = 900) найдем АМ: Так как точка N – середина АВ, то Из прямоугольного треугольника ΔАNS (∠SАN = 900) найдем AS: Так как DK = AM и N – середина DK, то Из прямоугольного треугольника ΔАDN (∠АDN = 900) найдем AD: Из прямоугольного треугольника ΔАDS (∠SАD = 900) найдем SD: Полученные значения AD, AS и SD подставим в формулу: Ответ: 1
Понравилось? Нажмите
Оставить комментарий |
Рубрики
|