Задание 14. ЕГЭ. Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 15 и ВС = 25.

Задание. Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 15 и ВС = 25. Все боковые рёбра пирамиды равны 5√17. На рёбрах AD и BC отмечены соответственно точки K и N так, что AK = CN = 8. Через точки K и N проведена плоскость α, перпендикулярная ребру SB.

а) Докажите, что плоскость α проходит через точку М – середину ребра SB.

б) Найдите расстояние между прямыми DS и KM.

Решение:

а) Докажите, что плоскость α проходит через точку М – середину ребра SB.

Пусть KN пересекает BD в точке О.

Так как  KD = BN и KD ǁ BN, то ∠OKD = ∠ONB и ∠ODK = ∠OBN – накрест лежащие углы, то треугольники ΔOKD = ΔOBN. Значит, точка О – середина BD.

Из прямоугольного треугольника ΔABD (∠А = 90⁰) найдем BD:

BD² = AD² + AB²

BD² = 25² + 15² = 625 + 225 = 850

BD = √850 = 5√34

В треугольнике ΔSBD:

BD = 5√34, DS = SB = 5√17, т. е. треугольник ΔSBD – равнобедренный.

Используя теорему косинусов, найдем величину угла ∠DSB:

Т. е. треугольник ΔSBD – прямоугольный с прямым углом ∠DSB.

По условию плоскость α проходит через точки K, N и перпендикулярна ребру SB.

Поэтому плоскость α параллельна прямой DS.

Следовательно, плоскость α пересекает плоскость (SBD) по прямой, параллельной прямой DS, т. е. по прямой ОМ.

ОМ – средняя линия треугольника ΔSBD, значит, точка М – середина ребра SB.

б) Найдите расстояние между прямыми DS и KM.

Прямая DS параллельна плоскости α, а прямая КМ лежит в плоскости α.

Расстоянием между прямыми DS и KM является расстояние между прямой DS и плоскостью α.

Это расстояние равно длине перпендикуляра SM, проведенного от прямой DS к плоскости α.

Ответ: 

Понравилось? Нажмите