Задание 14. ЕГЭ. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7.Задание. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC = 1 : 5. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой BC. а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA. б) Найдите угол между плоскостями α и SBC. Решение: а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA. Пусть плоскость α пересекает ребро SB в точке N. Так как плоскость α параллельна прямой BC, то плоскость α пересекает грань (SBC) по прямой, параллельной BC, т. е. прямые MN и BC параллельны. Тогда треугольники ΔSNM и ΔSBC подобны (по первому признаку подобия треугольников; ∠S – общий, ∠SMN = ∠SCB – соответственные углы), следовательно, Т. е. точка N делит ребро SB в отношении SN : NB = SM : MC = 1 : 5 Значит, AK : KB = SM : MC = SN : NB. Следовательно, треугольники ΔBNK и ΔBSA подобны (по второму признаку подобия треугольников; ∠B – общий, BK : BA = BN : BS). Значит, ∠BKN = ∠BAS – соответственные углы, а прямые AS и KN параллельны. Так как KN лежит в плоскости α, то AS параллельна плоскости α. б) Найдите угол между плоскостями α и SBC. Треугольник ΔSBC – равнобедренный, тогда медиана SH является высотой треугольника ΔSBC. Треугольник ΔABC – правильный, тогда медиана AH является высотой треугольника ΔABC. Прямая BC ⊥ SH и BC ⊥ AH, тогда BC ⊥ плоскости (ASH). Прямая BC лежит в плоскости (SBC), то плоскость (ASH) ⊥ (SBC). Прямая BC параллельна плоскости α, то плоскость (ASH) ⊥ α. Прямая SA, лежащая в плоскости (ASH), параллельна плоскости α, тогда угол между плоскостями α и (SBC) равен углу между прямой SA и плоскостью (SBC), т.е. равен углу ∠ASH. По теореме косинусов найдем угол ∠ASH: Из прямоугольного треугольника ΔABH (∠AHB = 900) по теореме Пифагора найдем AH: AB2 = AH2 + BH2 AH2 = AB2 – BH2 AB = 6, BH = 3. AH2 = 62 – 32 = 36 – 9 = 27 AH = 3√3 Из прямоугольного треугольника ΔSBH (∠SHB = 900) по теореме Пифагора найдем SH: SB2 = SH2 + BH2 SH2 = SB2 – BH2 SB = 7, BH = 3. SH2 = 72 – 32 = 49 – 9 = 40 SH = 2√10 Подставим полученные данные в формулу (1): Ответ:
Понравилось? Нажмите
Написать ответ пользователю: Елена Безик |
Рубрики
|
Теорема Пифагора не верна. AH^2=AB^2+BH^2 и так далее.
Правильно рассмотрите прямоугольный треугольник ΔABH (∠AHB — прямой угол).