Задание 14. Математика ЕГЭ. В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 5. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB =4. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.

Задание.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 5. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB =4. Через точки K и C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что A₁P:PB₁ = 3:1, где P – точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁C.

 Решение:

а) Докажите, что A₁P:PB₁ = 3:1, где P – точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.

Построим плоскость α, проходящую через точки K и C₁ параллельно прямой BD₁. Для этого построим плоскость, содержащую прямую BD₁, т.е проходящую через точки B, B₁, D, D₁.

Точки K и C₁ лежат в одной плоскости, поэтому можно провести KC₁. Точка К лежит в плоскости BDD₁, проведем прямую KE параллельно BD₁. Эта прямая пересекает прямую B₁D₁ в точке E.

Точки Е и C₁ лежат в одной плоскости, проведем прямую C₁E. Прямая C₁E пересекает A₁B₁ в точке P.

Точки P и K лежат в одной плоскости, проведем PK. Плоскость KPC₁ – искомое сечение.

Треугольники BB₁D₁ и KB₁E – подобные треугольники, тогда

BB₁ = 5

KB₁ = 1

B₁E = √2

Рассмотрим  рисунок, так как MENB₁ – квадрат, то EM = 1.  Треугольники PB₁C₁ и PME – подобные треугольники, тогда

B₁C₁ = 5, пусть PB₁ = x, тогда PM = x — 1

5x – 5 = x

4x = 5

x = 5/4

PB₁ = 5/4

A₁P = 5 – 5/4 = 15/4

Тогда

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁C.

Треугольник B₁KC₁ – прямоугольный.

Пусть точка H – основание высоты B₁H треугольника  B₁KC₁.

PB₁ перпендикулярна плоскости B₁KC₁.

B₁H – проекция наклонной PH на плоскость BB₁C₁.

B₁H перпендикулярна KC₁.

Тогда по теореме о трех перпендикулярах PH перпендикулярна KC₁.

Следовательно, угол PHB₁ – линейный угол искомого двугранного угла.

Треугольник PB₁H – прямоугольный, тогда

Найдем площадь треугольника B₁KC₁:

B₁K = 1, B₁C₁ = 5, тогда

Площадь треугольника B₁KC₁ найдем другим способом:

KC₁² = B₁K² + B₁C₁²

KC₁² = 1² + 5² = 26

KC₁ = √26

Найдем

Ответ:

Понравилось? Нажмите